Question

Simplificando a expressão (cossecx + cotgx) / (secx * cotgx) chegaremos a:

Answer 1

Primeiro vou escrever essa expressão:

$\star \: \frac{ \sf cossec(x) + cotg(x) }{ \sf sec(x). cot(x) } \: \star$

Sabemos que a cossecante é o inverso do seno, portanto:

$\boxed{ \sf cossec(x) = \frac{1}{ \sf sen(x) } }$

A cotangente tá bem explícito que é o inverso da tangente, sabemos também que a tangente é seno sobre cosseno, portanto:

$\boxed{ \sf cotg(x) = \frac{1}{ \tan(x) } = \frac{1}{\frac{ sen(x) }{ cos(x) } } = \frac{1}{1} . \frac{ cos(x) }{ sen(x) } = \frac{ cos(x) }{ sen(x) } }$

E a secante certamente é o inverso do cosseno:

$\boxed{ \sf sec(x) = \frac{1}{cos(x)} }$

Vamos substituir essas informações nos seus devidos locais:

$\star \: \frac{ \sf cossec(x) + cotg(x) }{ \sf sec(x). cot(x) } \: \star \\ \\ \frac{ \sf \frac{1 }{ sen(x) }+ \frac{cos(x) }{ sen(x) } }{ \frac{ \sf1}{ \sf \cancel{cos(x)} } . \frac{ \sf \cancel{cos(x)} }{ \sf sen(x) } } \\ \\ \frac{ \sf \frac{1}{ \sf sen(x)} + \frac{ cos(x) }{sen(x)} }{ \sf \frac{1}{ \sf sen(x) } }$

Agora temos que fazer a soma das frações que se encontram no numerador, para isso, vamos usar essa macete:

$\star \: \sf\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a.d + b.c}{b.d} \: \star$

Aplicando:

$\frac{ \sf \frac{1.sen(x) + sen(x). cos(x) }{ sen(x).sen(x) } }{ \sf\frac{1}{sen(x) } } \\ \\ \frac{ \frac{ \sf sen(x) + sen(x).cos(x) }{ \sf sen(x). sen(x) } }{ \sf \frac{1}{sen(x)} }$

Numa divisão de frações, devemos preservar a primeira fração e multiplicá-la pelo inverso da segunda fração:

$\sf \frac{sen(x) + sen(x).cos(x) }{sen(x). \cancel{sen(x) }} . \frac{ \cancel{sen(x)}}{1}$

Vamos simplificar Sen(x) com um dos Sen(x) do denominador:

$\sf \frac{sen(x) + sen(x).cos(x)}{sen(x)}$

Podemos colocar o Sen (x) em evidência no numerador:

$\sf \frac{ \cancel{sen(x)}.(1 + cos(x))}{ \cancel{sen(x)}}$

Simplificando Sen(x) por Sen(x), vamos obter:

$\boxed{ \sf 1 + cos( x ) } \leftarrow \sf resposta$

Espero ter ajudado