Question

sequencia de bolinhas figura 1 =2 bolinhas figura 2 = 5 bolinhas figura 3=10 bolinhas figura 4= 17 figura 5= 26 quantas bolinhas tera a figura 18

Answer 1

Resposta:

325

Explicação passo a passo:

Vamos construir uma PA, onde o primeiro termo $a_1$ é a quantidade de bolinhas figura 1, o termo $a_2$ é a quantidade de bolinhas da figura 2, e assim por diante.

$a_n=[a_1,a_2,a_3,...,a_n]$

$a_n=[2,5,10,17,26...]$

Veja que essa PA não faz sentido, pois não é possível encontrar uma razão constante. Porém vamos construi uma outra PA, que vou chamar de $b_n$.

Nessa minha nova PA $b_n$, o primeiro termo, ou seja, $b_1$, será a diferença entre o segundo e o primeiro termo da primeira PA que eu fiz. O segundo termo da PA $b_n$ será a diferença entre o terceiro e o segundo termo da primeira PA, e assim por diante. Então:

$b_n=[b_1,b_2,b_3,...,b_n]\\\\b_n=[(a_2-a_1),(a_3-a_2),(a_4-a_3),...,(a_n-a_{n-1)]}\\\\b_n=[(5-2),(10-5),(17-10),(26-17)...]\\\\b_n=[3,5,7,9,...]$

Veja que agora sim eu encontrei uma PA que faz sentido, com razão igual a dois. A PA $b_n$ é uma PA de segunda ordem.

Podemos relacionar as duas PA's da seguinte forma:

$a_n=a_1+Sb_{n-1}$

Ou seja, um termo qualquer da primeira PA $a_n$ é o primeiro termo dessa PA menos o termo n-1 da PA $b_n$.

Como queremos o termo 18 da PA $a_n$ (pois essa é a PA da quantidade de bolinhas por figura), temos que:

$a_n=a_1+Sb_{n-1}\\\\a_{18}=a_1+Sb_{17}$

$a_{18}$ é o termo que queremos

$a_1$ é o primeiro termo da PA que não faz sentido, que é 2

$Sb_{17}$ é a soma dos 17 primeiros termos da PA de segunda ordem.

Calculando $Sb_{17}$:

a PA é $b_n=[3,5,7,9...]$, que tem razão 2. Como queremos o termo 17, nosso an é 17:

$a_n=a_1+(n-1)*r\\\\a_{17}=3+(17-1)*2\\\\a_{17}=3+(16*2)\\\\a_{17}=35$

Calculando a soma dos 17 primeiros termos dessa PA:

$Sb_{17}=\frac{(a_1+a_{17})*17}{2}\\ \\Sb_{17}=\frac{(3+35)*17}{2}\\ \\Sb_{17}=\frac{646}{2}= 323$

Agora, voltando para a fórmula $a_{18}=a_1+Sb_{17}$:

$a_{18}=a_1+Sb_{17}\\\\a_{18}=2+323\\\\a_{18}=325$

Ou seja,  a figura 18 tem 325 bolinhas.