Question

Sendo y = c1ex + c2e−x solução geral para y’’ − y = 0, no intervalo (∞, −∞), encontre a solução, tendo os valores iniciais y(0) = 0, y’(0) = 1.​​​​​​​​​​​​​​

Answer 1

Resposta:

$y=\displaystyle\frac{1}{2}e^x-\displaystyle\frac{1}{2} e^{-x}$.

Explicação passo-a-passo:

$y=c_1 e^x+c_2 e^{-x}$ onde $y(0)=0$ e $y'(0)=1$.

Substitua na equação:

$0=c_1 e^0+c_2 e^{0}$

$c_1=-c_2$

Derivando a equação:

$y'=c_1 e^x-c_2 e^{-x}$

Substitua na equação:

$1=c_1 e^0-c_2 e^{0}$

$c_1-c_2=1$

Resolvendo o sistema pra duas incógnitas:

$c_1=\displaystyle\frac{1}{2}$ e $c_2=\displaystyle-\frac{1}{2}$.

Logo,

$y=\displaystyle\frac{1}{2}e^x-\displaystyle\frac{1}{2} e^{-x}$.