Question

sen1200º + cos(17π/3 rad) – sen(41π/4) + cos1305º

Answer 1

Temos que:

$\sf sen1200 {}^{ \circ} + cos \left( \frac{17\pi}{3} \right) - sen \left( \frac{41\pi}{4} \right) + cos1305 {}^{ \circ}$

Vamos encontrar o valor de cada um desses ângulos através da redução ao primeiro quadrante, nesses ângulos maiores iremos fazer a divisão dos mesmos por 360°, onde o resto será o ângulo que trabalharemos.

$\sf 1200 {}^{ \circ} \div 360 {}^{ \circ} = 3 \: voltas + 120 {}^{ \circ} \\ \sf 1305 {}^{ \circ} \div 360 {}^{ \circ} = 3 \: voltas \: + 225 {}^{ \circ}$

Esse ângulos que acompanham as voltas correspondem a primeira determinação positiva, mas tais ângulos não são notáveis, então usaremos mais uma vez a redução ao primeiro quadrante.

$\sf 120 {}^{ \circ} = 180 {}^{ \circ} - \ 120{}^{ \circ} = 60 { }^{ \circ} \\ \sf 225 {}^{ \circ} = 270 {}^{ \circ} - 225 ^{ \circ} = 45 {}^{ \circ}\\\\ \sf sen1200^{\circ} = sen120^{\circ} =+sen60^{\circ}\\\sf cos1305^{\circ}= cos225^{\circ} = -cos45^{\circ}$

O cosseno ficou negativo pois o mesmo possui um ângulo que está no terceiro quadrante (225°) e nesse quadrante o cosseno é negativo, já o seno ficou positivo porque o mesmo é positivo no primeiro e segundo quadrante que é onde se encontra o ângulo de (120°)

Agora vamos para os ângulos em radianos:

• Para esses ângulos existe uma saída bem rápida pra encontrar a primeira determinação positiva:

$\sf \frac{17\pi}{ 3} = \frac{15\pi + 2\pi}{3} = \frac{15\pi}{3 } + \frac{2\pi}{3} = 5\pi + \boxed{\sf\frac{2\pi}{ 3}} \\ \\ \sf \frac{41\pi}{4} = \frac{40\pi + \pi }{4} = \frac{40\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 10\pi + \boxed{\sf\frac{\pi}{4}}$

Substituindo esses dados nos seus devidos locais:

$\sf sen1200 {}^{ \circ} + cos \left( \frac{17\pi}{3} \right) - sen \left( \frac{41\pi}{4} \right) + cos1305 {}^{ \circ} \\ \\ \sf sen60 {}^{ \circ} + cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) - sen \left( \frac{\pi}{4} \right) - cos45 {}^{ \circ} \\ \\ \sf \frac{ \sqrt{3} }{2} + cos \left(\frac{2.180}{3} \right) - sen\left( \frac{180}{4} \right) - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \sf \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} + \underbrace{cos120 {}^{ \circ}}_{cos60 {}^{ \circ} } - sen45 {}^{ \circ} \\ \\ \sf \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2 } + \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \boxed{\sf \frac{1 + \sqrt{3}-2\sqrt{2} }{2} }$

Espero ter ajudado