Question

Sem usar a calculadora responda: qual é o valor da soma dos algarismos do produto (25^40)x(16^21).

 

Answer 1

25⁴º . 16²¹ = 

Como 25 = 5² e 16 = 2⁴ , temos:

( 5² )⁴º . ( 2⁴ )²¹ = 

5⁸º . 2⁸⁴ = 


Como 5 = ( 10/2 ) , fica;

( 10/2 )⁸º . 2⁸⁴ = 

10⁸º . 2⁸⁴
▬▬▬▬ = 
....2⁸º


Lembrando que : ( aˣ)/( aʸ ) = aˣ : aʸ = aˣ ˉ ʸ , temos:


10⁸º . 2⁸⁴ : 2⁸º = 

10⁸º . 2⁸⁴ ˉ ⁸º = 

10⁸º . 2⁴ = 

10⁸º . 16 = 16. 10 ( setenta e nove zeros á direita de 10, ou 16 + oitenta zeros á direita )

ou 16 0000000000000000000000 ...

Somando os seus algarismos , temos:

1 + 6 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 . . . 

Ou melhor;

R esp: 1 + 6 = 7 algarismos

Answer 2

$25^{40} \times 16^{21} = \\\\ (5^2)^{40} \times (2^4)^{21} = \\\\ 5^{80} \times 2^{84} = \\\\ 5^{80} \times 2^{80} \times 2^4 = \\\\ (5 \times 2)^{80} \times 16 = \\\\ 10^{80} \times 16 = \\\\ 1.6\underbrace{00.000...000.000}_{80 \; \text{zeros}} = \\\\ 1 + 6 + \underbrace{0 + 0 + ... + 0 + 0}_{80 \; \text{zeros}} \\\\ \boxed{\boxed{7}}$

 

 

 

 E, se fosse para calcular a quantidade de algarismos?

 

 Quantos algarismos tem o número 10^{80}. Acompanhe o raciocínio abaixo:

 

10¹ = 10 ============> tem-se 2 algarismos;

10² = 100 ===========> tem-se 3 algarismos;

10³ = 1000 ==========> tem-se 4 algs;

(...)

10^{80} = 100...000 ====> tem-se 81 algs.

 

 Percebeu que na base 10, é só somar uma unidade ao expoente para obter a quantidade de algs.?

 

 

 Última parte:

 

10 x 16 = 160 ==============> 3 algs;

100 x 16 = 1600 ============> 4 algs;

1000 x 16 = 16000 ==========> 5 algs. 

...

10^{80} x 16 = 16000...0000 ===> 82 algs.

 

  

10¹ tem 2 als. e 16 também tem dois, totalizando 4 algs., então fazemos 4 - 1 = 3;

10² tem 3 als. e 16 tem dois, totalizando 5 algs., então fazemos 5 - 1 = 4;

10³ tem 4 als. e 16 tem dois, totalizando 6 algs., então fazemos 6 - 1 = 5;

...

10^{80} tem 81 algs. e 16 tem dois, totalizando 83 algs., então fazemos:

 

$83 - 1 = \\ \boxed{\boxed{82 \; \text{algarismos}}}$