Question

Sejam U e W subespaços de ℝ4, dim U = 3 e dim W = 3. Se {(1, 2, 1, 0), (-1, 1, 0, 1), (1, 5, 2, 1)} é um sistema de geradores de U ∩ W, assinale a alternativa correta:

 

A) {(1, 2, 1, 0), (-1, 1, 0, 1), (1, 5, 2, 1)} é uma base de U ∩ W

B) dim (U ∩ W) = 3

C) dim (U + W) = 3

D) dim (U + W) = 6

E) dim (U + W) = 4

Answer 1

Olá, Leidy Braga.

A) VERDADEIRO.

Sejam  $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 \in \mathbb{R}$  tais que:

 

$<var>\lambda_1 (1,2,1,0) + \lambda_2(1,-1,0,1) + \lambda_3(1,5,2,1)=0 \Rightarrow \\\\ \begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3=0\ (1) \\ 2\lambda_1 - \lambda_2 + 5\lambda_3=0\ (2) \\ \lambda_1 + 2\lambda_3=0\ (3) \\ \lambda_2 + \lambda_3=0\ (4) \end{cases} </var>$

 

Substituindo (4) em (1) temos: $\lambda_1=0$

 

Substituindo este último resultado em (3) temos: $\lambda_3=0$

 

Substituindo este último resultado em (4) temos: $\lambda_2=0$

Como $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0,$ então {(1,2,1,0),(1,-1,0,1),(1,5,2,1)} é um conjunto de vetores LI.

 

Como o enunciado diz que este conjunto de vetores gera U ∩ W e os vetores são LI, então este conjunto de vetores é uma base para U ∩ W.

 

 

B) VERDADEIRO.

 

U ∩ W é o conjunto dos vetores  $v$  tais que  $v\in U$  e  $v\in W.$

 

Como  $\text{dim}(U)=\text{dim}(W)=3,v\in U,v\in W,$  e  $v\in U\bigcap W,$  temos, então, que  $\text{dim}(U\bigcap W)=3$

 

C) VERDADEIRO.

 

U + W é o conjunto dos vetores  $v$  tais que:

 

$v=u+w, u=(u_1,u_2,u_3)\in U,w=(w_1,w_2,w_3)\in W \Rightarrow \\\\ v=(u_1+w_1,u_2+w_2,u_3+w_3)$

 

Como  $v = u + w$  tem 3 coordenadas, então  $\text{dim}(U+W)=3$

 

 

D) FALSO. Explicado na letra "C".

 

E) FALSO. Explicado na letra "C".