Question

Sejam os pontos A = (1,2,4),B = (4,6,3), C = (−2,0,5), P = (1,1,0),Q = (4,3, −1) e R = (10,1,1), e
π o plano que passa pelos pontos A, B e C. Encontre as equações paramétricas de π. Verifique se os pontos
P, Q e R pertencem a π e se o vetor PQ é paralelo a π.

Answer 1

Temos três pontos que estão no plano π, então poderemos encontrar as paramétricas apenas com estes pontos.

• Seja $S(x,y,z)$ um ponto genérico deste plano.
• Fixando o vetor A poderemos formar dois vetores do plano $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.

Dessa forma, temos que o ponto S estará no plano se, e somente se, $\vec{AS}$ for combinação linear dos vetores $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.

Logo,

$\vec{AS}=\alpha \vec{AB}+\beta \vec{AC}$

Vem que,

$(x-1,y-2,z-4)=\alpha (4-1,6-2,3-4)+\beta (-2-1,0-2,5-4)\\ \\ \\ (x-1,y-2,z-4)=\alpha (3,4,-1)+\beta (-3,-2,1)\\ \\ \\ x-1=3\alpha -3\beta \Rightarrow x=3\alpha -3\beta+1\\ \\ \\ y-2=4\alpha -2\beta \Rightarrow y=4\alpha -2\beta+2\\ \\ \\ z-4=-1\alpha +\beta \Rightarrow z=-\alpha +\beta+4$

O sistema formado por x,y e z são as equações paramétricas do plano π. Para verificar se os pontos P,Q e R pertence ao plano e se o vetor PQ é paralelo a π eu acho mais conveniente encontrarmos a equação geral do plano. Para isso, vamos fazer um determinante com os vetores que formamos anteriormente ( o produto misto entre esses vetores ).

$\left[\begin{array}{ccc}x-1&y-2&z-4\\3&4&-1\\-3&-2&1\end{array}\right] \begin{array}{ccc}x-1&y-2&\\3&4&\\-3&-2&\end{array}\right] \\ \\ \\ = 4(x-1)+3(y-2)-6(z-4)+12(z-4)+2(x-1)-3(y-2)\\ \\ \\ =4x-4+3y-6-6z+24+12z-48+2x-2-3y+6\\ \\ \\ =6x+6z-42=0\\ \\ \\ \boxed{x+z-7=0}$

Note que o vetor normal deste plano é $\vec{n}=(1,1,0)$. Substituindo os pontos P, Q e R, temos:

$1+1-7=0~\Rightarrow -5\neq 0\\ \\ \\ 4+3-7=0~\Rightarrow~0=0\\ \\ \\ 10+1-7=0~\Rightarrow~4\neq 0$

Q ∈ π e P, R ∉ π.

Para o vetor $\vec{PQ}$ ser paralelo ao plano, ele deve ser ortogonal ( perpendicular ) ao vetor normal. Ou seja,

$\vec{PQ~.~\vec{n}}=0$

Daí vem que,

$(4-1,3-1,-1-0).(1,1,0)=0\\ \\ \\ (3,2,-1)(1,1,0)=0\\ \\ \\ 3+2+0=0\\ \\ \\ \boxed{5\neq 0}$

O vetor PQ não é paralelo ao plano π.