Question

Sejam E uma base. Escreva o vetor $\vec x=(4,0,13)_E$ como combinação linear dos vetores $\vec u=(1,-1,3)_E, \vec v =(2,1,3)_E\ e\ \vec w=(-1,-1,4)_E.$

Answer 1

Por inspeção, podemos chegar à conclusão que:

$\vec{x} = \vec{u} + 2\vec{v} + \vec{w}.$

De facto, tem-se:

$\vec{x} = (1, -1, 3)+ 2(2,1,3) + (-1,-1,4) = (1,-1,3) + (4,2,6) + (-1,-1,4) =\\\\=(4,0,13),$

como pretendido.

Contudo, os coeficientes podem não ser tão simples assim em geral, pelo que podemos utilizar um processo mais moroso mas que funciona sempre. Começamos por admitir que:

$\vec{x} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w}, \quad\textrm{com } \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}.$

Substituindo, temos:

$(4,0,13) = \alpha(1,-1,3) + \beta(2,1,3) + \gamma(-1,-1,4) \iff\\\\\iff (4,0,13) = (\alpha, -\alpha, 3\alpha) + (2\beta, \beta, 3\beta) + (-\gamma,-\gamma,4\gamma) \iff\\\\\iff (4,0,13) = (\alpha + 2\beta - \gamma, -\alpha + \beta - \gamma, 3\alpha + 3\beta + 4\gamma).$

Podemos agora escrever sob a forma de um sistema, igualando componente a componente:

$\begin{cases}4 = \alpha + 2\beta - \gamma\\0 = -\alpha + \beta - \gamma\\13 = 3\alpha + 3\beta + 4\gamma\\\end{cases}.$

Basta agora resolver o sistema. Podemos utilizar vários métodos, como a substituição, a adição ordenada ou métodos matriciais, como o método de eliminação de Gaussa.

Por exemplo, podemos começar por utilizar a 2.ª equação para escrever:

$0 = -\alpha + \beta - \gamma \iff \beta = \alpha + \gamma.$

Substituindo na 1.ª e na 3.ª e rearranjando, vem:

$\begin{cases}4 = \alpha + 2(\alpha + \gamma) - \gamma\\\beta = \alpha + \gamma\\13 = 3\alpha + 3(\alpha + \gamma) + 4\gamma\\\end{cases} \iff \begin{cases}4 = \alpha + 2\alpha + 2\gamma - \gamma\\\beta = \alpha + \gamma\\13 = 3\alpha + 3\alpha + 3\gamma + 4\gamma\\\end{cases} \iff\\\\\iff \begin{cases}4 = 3\alpha + \gamma\\\beta = \alpha + \gamma\\13 = 6\alpha + 7\gamma \\\end{cases}.$

Multiplicando a 1.ª equação por $2$ e subtraindo à 3.ª, vem:

$\begin{cases}4 = 3\alpha + \gamma\\\beta = \alpha + \gamma\\13 - 2 \times 4= 6\alpha - 2\times 3\alpha + 7\gamma - 2 \times \gamma\\\end{cases} \iff \begin{cases}4 = 3\alpha + \gamma\\\beta = \alpha + \gamma\\5= 5\gamma \\\end{cases} \iff \\\\\iff \begin{cases}4 = 3\alpha + \gamma\\\beta = \alpha + \gamma\\\gamma = 1 \\\end{cases}.$

Substituindo $\gamma = 1$ na 1.ª, vem:

$\begin{cases}4 = 3\alpha + 1\\\beta = \alpha + \gamma\\\gamma = 1\\\end{cases} \iff \begin{cases}3 = 3\alpha\\\beta = \alpha + \gamma\\\gamma = 1\\\end{cases} \iff \begin{cases}\alpha = 1\\\beta = \alpha + \gamma\\\gamma = 1\\\end{cases}.$

Substituindo $\alpha = \gamma = 1$ na 2.ª, vem por fim:

$\begin{cases}\alpha = 1\\\beta = 1 + 1\\\gamma = 1\\\end{cases} \iff \begin{cases}\alpha = 1\\\beta = 2\\\gamma = 1\\\end{cases}.$

Voltando à expressão inicial, descobrimos novamente que:

$\vec{x} = \vec{u} + 2\vec{v} + \vec{w}.$