Question

Sejam e inteiros positivos. Determine os possíveis valores de e , sabendo que e

Answer 1

Podemos considerar que os prováveis valores de "a" e "b" serão:

• a, b ≡ 18, (assim, a e b serão divisíveis por 18).
• a, b ≥ 18 (assim, a e b apresentam-se maiores ou iguais a 18), sendo a ≠ b.

Encontrando os valores de "a" e "b"

Vale lembrarmos que Mínimo Múltiplo Comum é abreviado por MMC, o qual caracteriza-se por um processo que visa achar o(s) múltiplo(s) de dois ou mais números.

Logo, o MMC será representado pelo maior dos números, ou seja;

• a ∨ b = 540, (assim, a ou b será igual a 540)
• a ∨ b ≤ 540 (assim, a ou b terá que ser menor ou até mesmo igual a 540), sendo a ≠ b.

Assim, podemos considerar que temos dois valores tanto para "a" quanto para "b":

• (a, b) = (18, 540), (540, 18).

Vale lembrarmos que além destes números teremos outros tantos que conseguem satisfazer os requisitos, ou seja, existem flexões de 18 e 540.

Para descobrirmos essas flexões, teremos que primeiramente encontrar o limite e para isso basta:

• Dividirmos MMC pelo MDC

        $\frac{mmc}{mdc} = \frac{540}{18} = 30$

• Fatorando este número, teremos: 30 = 2¹.3¹.5¹

Agora, ao multiplicarmos o 18 e dividindo o 540, diante de cada um dos três números que compreendem o 30, obteremos as “flexões”:

• Caso 1 ⇒ 18.2 = 36
• Caso 1 ⇒ 540/2 = 270
• Caso 1 ⇒ (a, b) = (36, 270), (270, 36)

• Caso 2 ⇒ 18.3 = 54
• Caso 2 ⇒ 540/3 = 180
• Caso 2 ⇒ (a, b) = (54, 180), (180, 54)

• Caso 3 ⇒ 18.5 = 90
• Caso 3 ⇒ 540/5 = 108
• Caso 3 ⇒ (a, b) = (90, 108), (108, 90)

Concluímos que ao juntarmos todas as informações obtidas teremos todos os números prováveis para "a" e "b":

• (a, b) = (18, 540), (540, 18)
• (a, b) = (36, 270), (270, 36)
• (a, b) = (54, 180), (180, 54)
• (a, b) = (90, 108), (108, 90)

Complemento do enunciado

[...] de A e B, sabendo que mdc (A,B)=18 e mmc (A,B)=540.

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