Question

Sejam as retas (r) dada por 3x – y = 0 e (s) dada por x + 5y = 0. Qual é a equação da reta que passa pelo ponto P(3,1) que intercepta (r) em A e (s) em B, tal que P seja o ponto médio do seguimento AB?

Answer 1

A equação da reta que passa pelo ponto P é x + y = 4.

Sabemos que o ponto A (xa, ya) pertence a r e B (xb, yb) pertence a s e que P é o ponto médio entre A e B, então, temos:

(xa + xb)/2 = 3 → xa + xb = 6

(ya + yb)/2 = 1 → ya + yb = 2

Pela figura, note que o ponto A deve estar no primeiro quadrante e o ponto B no segundo quadrante, logo, temos que yb deve ser negativo e as outras coordenadas devem ser positivas.

Se xa e xb são positivos, temos que para que a soma dos dois seja 6, podemos somar:

0 e 6

1 e 5

2 e 4

3 e 3

Se ya é positivo e yb é negativo, temos que podemos somar:

3 e -1

4 e -2

5 e -3

Note na figura que os únicos pontos com coordenadas inteiras são (3, 1) e (5, -1), logo, estes são as coordenadas de A e B, agora, basta encontrar a equação da reta:

1 = 3.m + n

-1 = 5.m + n

Subtraindo as equações, temos:

-2 = 2.m

m = -1

n = 4

A equação dessa reta é x + y = + 4.