Question

sejam as funções reais f e g, definida por f (x)=x^2+4x-5 e g (x)=2x-3. pode-se; a) obter as leis que definem f o g e g o f. b) calcular (f o g)(2) e (g o f)(2). c)determinar os valores do domínio da função f o g que produzem imagem 16. (obs:coloquei o "o" para representar o omicron. )

Answer 1

Item A

Resposta: $f \circ g = 4x^2 - 4x - 8$ e $g \circ f = 2x^2 + 8x - 13$.

Explicação passo-a-passo: A lei que define a função composta $f \circ g$ representa a função $f(g(x))$.

$f(x) = x^2 + 4x - 5 \\\\f(g(x)) = (g(x))^2 + 4 \cdot (g(x)) - 5 \\\\f(g(x)) = (2x - 3)^2 + 4 \cdot (2x - 3) - 5$

Como $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, então:

$f(g(x)) = (2x - 3)^2 + 4 \cdot (2x - 3) - 5 \\\\f(g(x)) = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + (3)^2 + 4 \cdot (2x - 3) - 5 \\\\f(g(x)) = 4x^2 - 12x + 9 + 4 \cdot (2x - 3) - 5 \\\\f(g(x)) = 4x^2 - 12x + 9 + 8x - 12 - 5 \\\\f(g(x)) = 4x^2 - 12x + 8x + 9 - 12 - 5 \\\\f(g(x)) = f \circ g = 4x^2 - 4x - 8$

A lei que define $g \circ f$ representa a função $g(f(x))$.

$g(x) = 2x - 3 \\\\g(f(x)) = 2 \cdot (f(x)) - 3 \\\\g(f(x)) = 2 \cdot (x^2 + 4x - 5) - 3 \\\\g(f(x)) = 2x^2 + 8x - 10 - 3 \\\\g(f(x)) = g \circ f = 2x^2 + 8x - 13$

Item B

Resposta: $(f \circ g)(2) = 0$ e $(g \circ f)(2) = 11$.

Explicação passo-a-passo: Como $f \circ g = 4x^2 - 4x - 8$, então podemos calcular $(f \circ g)(2)$.

$f \circ g = 4x^2 - 4x - 8 \\\\(f \circ g)(2) = 4\cdot(2)^2 - 4\cdot(2) - 8 \\\\(f \circ g)(2) = 4\cdot4 - 4\cdot(2) - 8 \\\\(f \circ g)(2) = 16 - 8 - 8 = 0$

Usando os mesmos passos, podemos calcular $(g \circ f)(2)$, visto que $g \circ f = 2x^2 + 8x - 13$.

$g \circ f = 2x^2 + 8x - 13 \\\\(g \circ f)(2) = 2 \cdot(2)^2 + 8 \cdot(2) - 13 \\\\(g \circ f)(2) = 2 \cdot4 + 8 \cdot(2) - 13 \\\\(g \circ f)(2) = 8 + 16 - 13 = 11$

Item C

Resposta: Os valores para $x$ são $\{-2, 3 \}$.

Explicação passo-a-passo: Como $f \circ g = 4x^2 - 4x - 8$, podemos definir $f \circ g = 16$ para que encontremos os valores.

$f \circ g = 4x^2 - 4x - 8 \\\\16 = 4x^2 - 4x - 8\\\\4x^2 - 4x - 8 - 16 = 0 \\\\4x^2 - 4x - 24 = 0 \div(4) \\\\x^2 - x - 6 = 0 \\\\\\x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{1 + \sqrt{1 + 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \dfrac{1 + \sqrt{25}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\\\\x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{1 - \sqrt{1 + 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \dfrac{1 - \sqrt{25}}{2} = -\dfrac{4}{2} = -2$

Answer 2

Com o estudo sobre função composta temos como resposta a)4x²- 4x + 4 e 2x² + 8x - 13, b)12 e 11, c)$\mathrm{Dominio\:de\:}\:4x^2-4x+4\::\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-\infty \: < x < \infty \\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

Função Composta

Funções compostas são aquelas em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para outra função g(x), que, por sua vez, gera um conjunto imagem.

Exemplo 1:

Sejam as funções f e g de IR em IR, de forma que f(x) = x + 3 e g(x) = 2x + 1. Obter a função composta (g o f)(x) e (f o g)(x).

• Para  obter a função (g o f)(x), deve-se lembrar que o domínio de g é a imagem de f. Portanto, deve-se substituir a expressão da função f(x) no lugar da variável x da função g(x): (g o f)(x) = 2(x + 3) - 1→(g o f)(x) = 2x + 5
• Para  obter a função (f o g)(x), deve-se lembrar que o domínio de f é a imagem de g. Portanto, deve-se substituir a expressão da função g(x) no lugar da variável x da função f(x): (f o g)(x) = (2x - 1) + 3 → (f o g)(x) = 2x + 1.

Exemplo 2:

Determinar o domínio da função f(g(x)) para f(x) = $\sqrt{x}$ e g(x) = x - 1.

• Obter a função composta f(g(x)): f(g(x)) = $\sqrt{x-1}$
• A condição de existência da função f(g(x)) é : x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
• Portanto D(f) = [1, ∞[

Sendo assim vamos para as questões.

a)

• f(x) = x² + 4x - 5 e g(x) = 2x - 3
• (f o g)(x) = (2x - 3)²+4(2x - 3) -5 = 4x² - 12x + 9 + 8x - 12 - 5=4x²- 4x + 4
• (g o f)(x) = 2(x² + 4x - 5) -3=2x² + 8x - 10 -3=2x² + 8x - 13

b)

• (f o g)(2)=4(2)²- 4(2) + 4=16 - 8 + 4=12
• (g o f)(2)=2(2)² + 8(2) - 13=8 + 16 - 13=11

c)

A função não tem pontos indefinidos nem restrições de domínio. Portanto, o domínio é

• $\mathrm{Dominio\:de\:}\:4x^2-4x+4\::\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-\infty \: < x < \infty \\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

• $\mathrm{Para\:uma\:parabola}\:ax^2+bx+c\:\mathrm{com\:vertice}\:\left(x_v,\:y_v\right)\\\mathrm{Se}\:a < 0\:\mathrm{a\:imagem\:e}\:f\left(x\right)\le \:y_v$

• $\quad \mathrm{Se}\:a > 0\:\mathrm{a\:imagem\:e}\:f\left(x\right)\ge \:y_v$

• $a=4,\:\mathrm{Vertice}\:\left(x_v,\:y_v\right)=\left(\frac{1}{2},\:3\right)\\\\f(x)\geq 3$

Saiba mais sobre função composta:https://brainly.com.br/tarefa/203670

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