Question

Sejam as funções reais definidas por f(x)=3x+4 e g(x)=2x-1. Descubra o valor de x, sabendo que g^-1 (f(x))=f^-1(g(2))

Answer 1

Pra encontrar a inversa de uma função basta trocar o y por x e vice-versa e depois isolar o y.

Sendo assim, vamos achar o inverso de f:

$\displaystyle y = 3x+4$

$\displaystyle x=3y+4$

$\displaystyle y=\frac{x-4}{3}$

$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}$

Agora o inverso de g:

$\displaystyle y =2x-1$

$\displaystyle x=2y-1$

$\displaystyle y=\frac{x+1}{2}$

$\displaystyle g^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}$

Agora o valor de g(2):

g(2) = 2 · 2 - 1 = 3

Depois o valor de $g^{-1}(f(x))$:

$\displaystyle g^{-1}(f(x))=\frac{f(x)+1}{2}$

$\displaystyle g^{-1}(f(x))=\frac{3x+4+1}{2}$

$\displaystyle g^{-1}(f(x))=\frac{3x+5}{2}$

Depois disso, o valor de $f^{-1}(g(2))$:

$\displaystyle f^{-1}(g(2))= f^{-1}(3)$

$\displaystyle f^{-1}(g(2))=\frac{3-4}{3}$

$\displaystyle f^{-1}(g(2))=\frac{-1}{3}$

E por fim,

$\displaystyle g^{-1}(f(x))=f^{-1}(g(2))$

$\displaystyle \frac{3x+5}{2} = \frac{-1}{3}$

$\displaystyle 3(3x+5)=-2$

$\displaystyle 9x+15=-2$

$\displaystyle 9x=-17$

$\displaystyle x=-\frac{17}{9}$