Question

Sejam A (– 5,4), B (0, – 2) e C (3,2) os vértices de um triângulo, determine:

a) As coordenadas do baricentro.

b) A área do triângulo.

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo. Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da mediana da que vai do baricentro até o ponto médio do lado.

Tal ponto possui uma fórmula para calcular a sua coordenada, a fórmula é:

$\Large \boxed{G = \begin{pmatrix} \frac{xa + xb + xc}{3}, \frac{ya + yb + yc}{3} \end{pmatrix}}$

Note que temos os elementos Xa, Xb, Ya... tais elementos representam o valor das abscissas e ordenadas dos pontos A, B e C.

Sabendo que uma coordenada é expressa dessa forma:

$\begin{cases} C(abscissa, \: ordenada) \\ abscissa \rightarrow \: valor \: de \: x \\ ordenada \rightarrow valor \: de \: y \end{cases}$

Vamos indentificar os valores de Xa, Xb... seguindo esse mesmo princípio:

$\begin{cases}A( - 5,4) \rightarrowtail \: xa = - 5 \: \: \: ya = 4\\ B (0, - 2) \rightarrowtail xb = 0 \: \: \: yb = - 2 \\ C (3,2) \rightarrowtail \: xc = 3 \: \: \: yc = 2\end{cases}$

Agora vamos substituir esses valores na fórmula do Baricentro.

$G = \begin{pmatrix} \frac{xa + xb + xc}{3}, \frac{ya + yb + yc}{3} \end{pmatrix} \\ \\ G = \begin{pmatrix} \frac{ - 5 + 0 + 3}{3}, \frac{4 + 2 - 2}{3} \end{pmatrix} \\ \\ \huge\boxed{G = \begin{pmatrix} \frac{ - 2}{3}, \frac{4}{3} \end{pmatrix}}$

Essa é a coordenada do Baricentro.

Agora vamos calcular a área desse triângulo.

A área (A) de um triângulo através dos conhecimentos da geometria analítica é dado pelo determinante dos vértices dividido por dois.

A estrutura do DETERMINANTE citado é a seguinte:

$\huge\begin{bmatrix} xa&ya&1 \\ xb&yb&1 \\ xc&yc&1\end{bmatrix}$

Como já indentificamos os valores das abscissas e ordenadas, vamos substituir nesse DETERMINANTE e realizar o cálculo, para isso usarei o método de Sarrus.

$\begin{bmatrix} - 5&4&1 \\ 0& - 2&1 \\ 3&2&1\end{bmatrix}. \begin{bmatrix} - 5&4 \\ 0& - 2 \\ 3&2\end{bmatrix} \\ \\ D = Diagonal \:P - Diagonal \: S \\ D = ( - 5). (- 2).(1) + 4.1.3 + 1.0.2 - (3.( - 2).1 + 2.1.( - 5) + 1.0.4) \\ D = 10 + 12 + 0 - ( - 6 - 10 + 0) \\ D = 22 - ( - 16) \\ D = 22 + 16 \\ \large \boxed{ D = 38}$

Agora vamos substituir esse valor do DETERMINANTE na fórmula:

$\huge \boxed{A = \frac{ |D| }{2} } \\ \\ A = \frac{ |38| }{2} \\ \\ \ \large\boxed{\boxed{A = 19 \: \: u.a}}$

Essa é a área ↑

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️