Question

Sejam A(0,1,2), B(1,02) e C(-1,1,0) três pontos não colineares. Pede-se a área do triângulo ABC.

Answer 1

Os lados do triângulo equivalem às distâncias entre os pontos A, B e C.

dAB = √(0-1)²+(1-0)²+(2-2)²
dAB = √2

dAC = √[0-(-1)]²+(1-1)²+(2-0)²
dAC = √5

dBC = √[1-(-1)]²+(0-1)²+(2-0)²
dBC = √9
dBC = 3

Calculando o semiperímetro:
p = $\displaystyle\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2}$
Pela Fórmula de Heron (ou Herão)
A = √p(p-a)(p-b)(p-c)
A = $\displaystyle\frac{\sqrt{(3+\sqrt{5}+\sqrt{2})(3+\sqrt{5}-\sqrt{2})(3-\sqrt{5}+\sqrt{2})(-3+\sqrt{5}+\sqrt{2})}}{\sqrt{16}}$
Nota-se que sao quadrados da soma pela diferença.
A = $\displaystyle\frac{\sqrt{[(3+\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}][(\sqrt{2})^{2}-(3-\sqrt{5})^{2}}}{4}$
A = $\displaystyle\frac{\sqrt{[(6\sqrt{5}+12)(6\sqrt{5}-12)]}}{4}$
A = $\displaystyle\frac{\sqrt{180-144}}{4}$
A = $\displaystyle\frac{6}{4}$

A = $\displaystyle\frac{3}{2}$

Um pouco trabalhoso kk espero ter ajudado ;)

Answer 2

Boa tarde Dkiwilson 

AB² = 1² + 1² + 0² = 2
AB = √2

AC² = 1² + 0² + 2² = 5
AC = √5

BC² = 2² + 1² + 2² = 9 
BC = 3

perimetro 
P = 3 + √2 + √5 

área pela formula de Heron

S² = P*(P - 2AB)*(P - 2AC)*(P - 2BC)/16
S² = (3 + √2 + √5)*(3 + √5 - √2)*(3 + √2 - √5)*(√2 + √5 - 3)/16 
S² = 2.25 

S = 1.5