Question

considere o numero complexo Z=1 + i, então,escrevendo-se esse complexo na forma trigonometrica,obtem-se

Answer 1

A forma trigonométrica de um número complexo é dada por

$z=|z|\cdot(cos~\theta+i\cdot sen~\theta)$

Onde |z| é o módulo do complexo e θ é o argumento do complexo (ângulo entre o eixo x e o vetor z)

Considere também:

Re(z): Parte real de z
Im(z): Parte imaginária de z
________________________________

$z=1+i=1+1i\\\\\boxed{\boxed{Re(z)=1,~Im(z)=1}}$

Achando o módulo de z:

$|z|=\sqrt{(Re(z))^{2}+(Im(z)^{2}}\\\\|z|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}\\\\|z|=\sqrt{1+1}\\\\\boxed{\boxed{|z|=\sqrt{2}}}$

Achando o argumento de z: (Veja a imagem em anexo)

Achando a tangente de θ:

$tg~\theta=\dfrac{Im(z)}{Re(z)}=\dfrac{1}{1}=1$

O ângulo agudo que possui tangente igual a 1 é π/4 rad (45º), logo

$\boxed{\boxed{\theta=\dfrac{\pi}{4}}}$

Escrevendo z na forma trigonométrica:

$z=|z|\cdot(cos~\theta+i\cdot sen~\theta)\\\\\\\boxed{\boxed{z=\sqrt{2}\cdot\left(cos~\dfrac{\pi}{4}+i\cdot sen~\dfrac{\pi}{4}\right)}}$