Question

Seja x um número real, 0 < x < ????/2, tal que a sequência (tanx,secx,2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a a) 1. b) 5/4. c) 4/3. d) 1/3.

#UNICAMP

Answer 1

A alternativa correta é a letra d) 1/3.

Vamos aos dados/resoluções:

Sendo (tgx,secx,2) uma PA e 0 < x < π/2, tem-se:  

secx = tgx + 2 / 2 ;  

2secx = tgx + 2 ;  

2/cosx = senx/cosx + 2, cosx ≠ 0 ;  

2 = senx + 2cosx ;  

Elevando-se ao quadrado, teremos:  

2² = (senx + 2cosx)² ;  

4 = sen²x + 4senxcosx + 4cos²x ;  

Substituindo-se cos²x por 1 - sen²x, tem-se ;  

4 = sen²x + 4senxcosx + 4 (1 - sen²x) ;  

4 = sen²x + 4senxcosx + 4 - 4sen²x ;  

3sen²x - 4senxcosx = 0 ;  

senx (3senx - 4cosx) = 0 ;  

senx = 0 (não convém) ou 3senx - 4cos = 0 ;  

tgx = 4/4 , logo , senx = 4/5 e cosx = 3/5 e essa sendo a PA, a razão será de 1/3.

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)