Question

Seja um quadrado de lado 2. Unindo os pontos médios de cada lado, temos um segundo quadrado. Unindo os pontos médios do segundo quadrado, temos um terceiro quadrado, e assim sucessivamente. O produto das áreas dos dez primeiros quadrados é

Answer 1

Olá!

Sabemos que temos um quadrado de lado 2, ao unir os pontos médios de cada lado, temos outro quadrado, e assim por diante mos uma progressão geometrica.

Baseada na area de um quadrado que é:

$A_{Q} = 4 u * a$

Então o quadrado 1 vai ser dado por:

$A_{Q}_{1} = 4 u * a$

O quadrado 2 vai ser dado pela mitade dos lados do quadrado 1, ou seja:

$A_{Q}_{2} =\frac{ 4 u *a}{2} = 2 u*a$

Esso significa que a área de cada quadrado ira-se a reduzir em 1/2

Para determinar o produto das áreas dos dez primeiros quadrados, usamos a formula d produto de uma progressão geometrica:

$P(n)=a_{1}^{(n)} * q^{n* \frac{n- 1}{2}}$

Onde:

a₁ = 4

n = 10

q = 1/2

Substituimos os valores:

$P(n)= 4^{(10)} * \frac{1}{2}^{(10* \frac{10- 1}{2})}$

$P(n)= 4^{(10)} * 2^{( - 10* \frac{9}{2})}$

$P(n)= 2^{-25}$

O produto das áreas dos dez primeiros quadrados é 2⁻²⁵