Question

Seja p(x) um polinômio de grau 3 tal que p(x) = p(x+2) - x² - 2, para todo x ∈ R. Se -2 é uma raiz de p(x), então o produto de todas as raízes de p(x) é:

a) 36
b) 18
c) -36
d) -18
e) 1

Answer 1

Uma vez que, a equação tem grau 3: $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

Calculemos p(x + 2),

$p(x+2)=a(x+2)^3+b(x+2)^2+c(x+2)+d\\\\p(x+2)=a(x^3+6x^2+12x+8)+b(x^2+4x+4)+c(x+2)+d\\\\p(x+2)=ax^3+6ax^2+12ax+8a+bx^2+4bx+4b+cx+2c+d\\\\p(x+2)=ax^3+(6a+b)x^2+(12a+4b+c)x+(8a+4b+2c+d)$
 
 Ora, de acordo com o enunciado:

$p(x)=p(x+2)-x^2-2\\\\ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+(6a+b)x^2+(12a+4b+c)x+(8a+4b+2c+d)-x^2-2\\\\ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+(6a+b-1)x^2+(12a+4b+c)x+(8a+4b+2c+d-2)\\\\\begin{cases}a=a\\b=6a+b-1\\c=12a+4b+c\\d=8a+4b+2c+d-2\end{cases}$
 
 Tuliopd, resolvendo as equações acima deverás encontrar $\boxed{a=\frac{1}{6}}$, $\boxed{b=\frac{-1}{2}}$ e $\boxed{c=\frac{4}{3}}$
 
 
 Outra condição dada no enunciado foi: - 2 é uma das raízes de p(x), portanto, $p(-2)=0$. Segue,

$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\\\p(-2)=a\cdot(-8)+b\cdot(+4)+c\cdot(-2)+d\\\\0=-8a+4b-2c+d\\...\\\boxed{d=6}$
 
 
 Das Relações de Girard,

$\text{produto}=-\frac{d}{a}\\\\\text{produto}=-\frac{6}{\frac{1}{6}}\\\\\text{produto}=-6\div\frac{1}{6}\\\\\text{produto}=-6\cdot\frac{6}{1}\\\\\boxed{\boxed{\text{produto}=-36}}$
 
 Alternativa "c"!!