Question

Seja f(x) = ax²+bx+c, sabendo que f(1) =4, f(2)=0 e f(3)= -2. Calcule os zeros da função

Answer 1

Sabendo que o tipo da função é polinomial do 2ª grau (Função do 2ª Grau):

$\mathsf{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}$

Onde foi dado os seguintes valores da função para os valores de x:

๏ $\mathsf{f\left(1\right)=4}$
๏ $\mathsf{f\left(2\right)=0}$
๏ $\mathsf{f\left(3\right)=-2}$

Logo:

๏ Quando x=1 a função assume o valor de 4.
$\mathsf{4=a\left(1\right)+\left(1\cdot b\right)+c}\\\mathsf{a+b+c=4}$

๏ Quando x=2 a função assume o valor de 0.
$\mathsf{0=2a+2b+c}\\\mathsf{4a+2b+c=0}$

๏ Quando x=3 a função assume o valor de -2.
$\mathsf{-2=3a+3b+c}\\\mathsf{9a+3b+c=-2}$

Teremos então 3 equações com 3 variáveis:
 
$\left\{\begin{matrix}\mathsf{a+b+c=4}\\\mathsf{4a+2b+c=0}\\\mathsf{9a+3b+c=-2}\end{matrix}\right}$

Realizando o escalonamento encontraremos:

๏ $a=1$
๏ $b=-7$
๏ $c=10$

Logo, a função sera: $\mathsf{f\left(x\right)=x^2-7x+10}$

Encontrando as raízes da função:

$\mathsf{x^2-7x+10=0}\\\\\mathsf{a=1;b=-7;c=10}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-b\pm \:\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\\\mathsf{x=\dfrac{-\left(-7\right)\pm \:\sqrt{\left(-7\right)^2-\left(4\cdot 1\cdot 10\right)}}{2\cdot 1}}\\\\\mathsf{x=\dfrac{7\pm \:\sqrt{49-40}}{2}}\\\\\mathsf{x=\dfrac{7\pm \:\sqrt{9}}{2}}\\\\\mathsf{x=\dfrac{7\pm \:3}{2}}$

As raízes da função serão:

๏ $\mathsf{x_1=\dfrac{7+\:3}{2}=\dfrac{10}{2}=5}$
๏ $\mathsf{x_2=\dfrac{7-\:3}{2}=\dfrac{4}{2}=2}$

Solução da equação:

$\boxed{\bold{\mathsf{S=\left\{x\in \mathbb{R}/x=5\:ou\:x=2\right\}}}}$