Question

Seja f: R ⇒ R e C ∈ R. Mostre que $\lim_{x \to \ c} f(x)= L \ \textless \ =\ \textgreater \ \lim_{x \to \ 0} f(x+c)= L.$

Answer 1

Seja f: ℝ ⟶ ℝ uma função e c ∈ ℝ. Mostrar que

$\lim\limits_{x\to c} f(x)=L$ se e somente se $\lim\limits_{x\to 0} f(x+c)=L.$

(i) Suponha que

$\lim\limits_{x\to c} f(x)=L.$

Então, por definição de limite, para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que

se $0<|x-c|<\delta,$ então $|f(x)-L|<\varepsilon.$

Faça

$x-c=t\quad\Longrightarrow\quad x=t+c.$

Substituindo, a implicação acima fica

se $0<|t|<\delta,$ então $|f(t+c)-L|<\varepsilon.$

Mas t = t − 0:

se $0<|t-0|<\delta,$ então $|f(t+c)-L|<\varepsilon$

$\quad\Longleftrightarrow\quad\lim\limits_{t\to 0} f(t+c)=L.$

(ii) A volta é análoga, e o procedimento é idêntico. Suponha que

$\lim\limits_{x\to 0} f(x+c)=L.$

Então, por definição de limite, para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que

se $0<|x-0|<\delta,$ então $|f(x+c)-L|<\varepsilon.$

Faça

$x+c=u\quad\Longrightarrow\quad x=u-c$

e a implicação fica

se $0<|u-c-0|<\delta,$ então $|f(u)-L|<\varepsilon$

se $0<|u-c|<\delta,$ então $|f(u)-L|<\varepsilon$

$\quad\Longleftrightarrow\quad\lim\limits_{u\to c} f(u)=L$

como queríamos demonstrar.