Question

Seja f : R → R derivável e seja g(t) = f(t²+1). Supondo que f'(2) = 5, calcule g'(1).

Answer 1

$(g\circ f\circ u)(t)=f(t^2+1)\implies g(f(u(t)))=f(t^2+1)$
g é uma função composta de f e u, então temos que usar a regra da cadeia:
$\displaystyle \frac{d}{dt}g(f(u(t)))=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dt}$
então:
$\displaystyle \frac{dg}{dt}= \frac{df}{du}\cdot\frac{d}{dt}t^2+1\\\\ \frac{dg}{dt}=\frac{df}{du}\cdot2t=g'(t)$

ii) calcular g'(1)
$\displaystyle \frac{df}{du}=f'(u)$
então:
$g'(1)=f'(1^2+1)\cdot 2\\\\ g'(1)=f'(2)\cdot 2\\\\ g'(1)=5\cdot 2 \\\\\boxed{g'(1)=10}$