Question

Seja f definida nos reais e seja p um real dado. Suponha que $\displaystyle\lim_{x \to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}=L$. Calcule:

c) $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(p+h)-f(p-h)}{h}$

Eu tinha feito outras duas parecidas chamando p+h de x, calculando os limites e etc, mas nessa eu empaquei.

Answer 1

O exercício nos fornece o seguinte limite de uma função real f(x) univariada:

$\large\begin{array}{l}\mathsf{\displaystyle\lim_{x\to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}=L\qquad(i)}\end{array}$

 

Baseando-se no resultado acima, ele deseja encontrar, em função de L, o valor de:

$\large\begin{array}{l}\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{\,h \to 0}\dfrac{f(p+h)-f(p-h)}{h}\qquad(ii)}\end{array}$

Do Cálculo Diferencial, temos que L é justamente a derivada (inclinação da reta tangente) da função f(x) no ponto P = (p, f(p)); p é um número real pertencente ao domínio de f. Repare também que, com base na própria definição para a derivada de f em x = p (indicada abaixo por (iii)), o limite situado no lado esquerdo da igualdade em (i) é uma forma alternativa para o cálculo do valor L, sendo, portanto, igual a:

$\large\begin{array}{l}\qquad\ \\ \ \mathsf{\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(p+h)-f(p)}{h}=L\qquad(iii)}\end{array}$

A partir da igualdade (iii) e da ideia de derivadas laterais — mais especificamente a visão geométrica — torna-se fácil perceber que existe uma segunda forma (pouquíssimo conhecida) que também é utilizada para a obtenção de L, e esta, por sua vez, é dada por:

$\large\begin{array}{l}\qquad\mathsf{\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(p)-f(p-h)}{h}=L}\end{array}$

E por último, para obter-se o valor do limite em questão — indicado acima por (ii) — faz-se necessário partir da expressão (ii) e proceder da seguinte forma:

$\large\begin{array}{l}\mathsf{\ \ \ \displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(p+h)-f(p-h)}{h}}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(p+h)-f(p)+f(p)-f(p-h)}{h}}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\lim_{h\to0}\left[\dfrac{f(p+h)-f(p)}{h}+\dfrac{f(p)-f(p-h)}{h}\right]}\\\\\\ \mathsf{=\underbrace{\mathsf{\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(p+h)-f(p)}{h}}}_{L}\: +\: \underbrace{\mathsf{\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(p)-f(p-h)}{h}}}_{L}}\\\\ \mathsf{=L+L}\\\\ \mathsf{=2L}\end{array}$

O que equivale a escrever:

$\boxed{\Large\begin{array}{L}\mathsf{\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(p+h)-f(p-h)}{h}=2L}\end{array}}$

Um grande abraço!