Question

Seja dada a função y=sen(x^2+3) , determine a sua SEGUNDA derivada, e em seguida, assinale a alternativa CORRETA.

Y’=2x*cos(x^2+3)
Y’= - 4x^2*sen(x2+3)+2*sec(x^2+3)
Y’=2x*sen(x^2+3)
Y’= - 4x^2*sen(x^2+3)+2cos(x^2+3)
Y’= - 4x^2*sem(x^2+3)⌠1+x^2+3⌡

Answer 1

Olá!

Temos:
y = sen(x²+3) --> Utilizaremos a Regra da Cadeia, ou seja, dy/dx = dy/du.du/dx

Fazendo x²+3 = u, temos:

du/dx = 2x 

Ainda temos:
y = senu => dy/du = cosu 

Logo, ficamos com:

dy/dx = dy/du.du/dx = cosu.2x = 2xcosu 

Substituindo u = x²+3, vem:

dy/dx = 2x.cos(x²+3) 

Agora, calculemos a segunda derivada, ainda pela Regra da Cadeia. Temos:

y' = 2x.cos(x²+3) --> Usaremos a Regra do produto, em que g(x) = 2x e h(x) = cos(x²+3) e se baseia em: y'' = (g.h)' = g'h+gh'.

Temos:

g = 2x => g' = 2
h = cos(x²+3) => h' = ?

Encontremos h', pela regra rápida, ou seja:
h = cosu => h' = -senu.u' 

Logo:

h' = -sen(x²+3).2x = -2x.sen(x²+3)

Tudo pronto, vamos derivar:

y'' = g'h+gh' = 2cos(x²+3) + 2x.[-2x.sen(x²+3) 
y'' = - 4x².sen(x²+3)+2cos(x²+3)

∴ Alternativa D ou (04)

Espero realmente ter ajudado! :)