Question

Seja B = (i,j,k) uma base ortonormal, u = (4,-2,2) e v = (3,1,1). (a) Encontre vetores p e q tais que v = p + q, com p paralelo a u e q perpendicular a u. (b) Calcule w ortogonal a u e v sabendo que w.(1,1,1) = -1.

Answer 1

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Dados dois vetores do $\mathbb{R}^3$

$\overrightarrow{u}=(4,\,-2,\,2)$  e  $\overrightarrow{v}=(3,\,1,\,1)$


(a)   encontrar os vetores  $\overrightarrow{p}$  e  $\overrightarrow{q}$  tais que

•   $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$      $\mathbf{(i)}$


•   $\overrightarrow{p}\parallel\overrightarrow{u}$      $\mathbf{(ii)}$


•   $\overrightarrow{q}\perp\overrightarrow{u}$      $\mathbf{(iii)}$


De acordo com $\mathbf{(i),}$  queremos decompor o vetor $\overrightarrow{u}$ em duas componentes  $\overrightarrow{p}$  e  $\overrightarrow{q}.$


Por $\mathbf{(ii)},$ concluímos que  $\overrightarrow{p}$  nada mais é do que a projeção ortogonal de  $\overrightarrow{v}$  na direção de  $\overrightarrow{u}:$

$\overrightarrow{p}=\mathrm{proj}_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}\\\\\\ =\dfrac{\left \langle \overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v}\right \rangle}{\|\overrightarrow{u}\|^2}\cdot \overrightarrow{u}\\\\\\ =\dfrac{\left\langle(4,\,-2,\,2),\,(3,\,1,\,1)\right\rangle}{\|(4,\,-2,\,2)\|^2}\cdot (4,\,-2,\,2)$

$=\dfrac{4\cdot 3-2\cdot 1+2\cdot 1}{4^2+(-2)^2+2^2}\cdot (4,\,-2,\,2)\\\\\\ =\dfrac{12-2+2}{16+4+4}\cdot (4,\,-2,\,2)\\\\\\ =\dfrac{12}{24}\cdot (4,\,-2,\,2)$

$=\dfrac{1}{2}\cdot (4,\,-2,\,2)\\\\\\\\ \therefore~~\overrightarrow{p}=(2,\,-1,\,1)\qquad\quad\checkmark$


Encontrando o vetor  $\overrightarrow{q:}$

$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{p}\\\\ =(3,\,1,\,1)-(2,\,-1,\,1)\\\\ =(3-2,\,1-(-1),\,1-1)\\\\ \therefore~~\overrightarrow{q}=(1,\,2,\,0)\qquad\quad\checkmark$

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(b)   Encontrar o vetor  $\overrightarrow{w}=(a,\,b,\,c),$  de modo que

•   $\overrightarrow{w}\perp\overrightarrow{u};$      $\mathbf{(iv)}$


•   $\overrightarrow{w}\perp\overrightarrow{v};$      $\mathbf{(v)}$


•   $\left\langle\overrightarrow{w},\,(1,\,1,\,1)\right\rangle=-1$      $\mathbf{(vi)}$


Dois vetores são ortogonais somente se o produto escalar entre eles for igual a zero.

Então, devemos ter

•   $\left\langle\overrightarrow{w},\,\overrightarrow{u}\right\rangle=0$

$\left\langle(a,\,b,\,c),\,(4,\,-2,\,2)\right\rangle=0\\\\ 4a-2b+2c=0\qquad\quad\mathbf{(vii)}$


•   $\left\langle\overrightarrow{w},\,\overrightarrow{v}\right\rangle=0$

$\left\langle(a,\,b,\,c),\,(3,\,1,\,1)\right\rangle=0\\\\ 3a+b+c=0\qquad\quad\mathbf{(viii)}$


Além disso, por $\mathbf{(vi)},$ devemos ter também

$\left\langle(a,\,b,\,c),\,(1,\,1,\,1)\right\rangle=-1\\\\ a+b+c=-1\qquad\quad\mathbf{(ix)}$


Agora é só resolver o sistema formado pelas equações  $\mathbf{(vii),~~(viii),~~(ix):}$

$\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} 4a&\!\!\!-\!\!\!&2b&\!\!\!+\!\!\!&2c&\!\!\!=\!\!\!&0&\qquad\mathbf{(vii)}\\ 3a&\!\!\!+\!\!\!&b&\!\!\!+\!\!\!&c&\!\!\!=\!\!\!&0&\qquad\mathbf{(viii)}\\ a&\!\!\!+\!\!\!&b&\!\!\!+\!\!\!&c&\!\!\!=\!\!\!&-1&\qquad\mathbf{(ix)}\\ \end{array} \right.$


Subtraindo membro a membro a equação $\mathbf{(ix)}$ da equação $\mathbf{(viii)},$ obtemos

$3a-a=0+1\\\\ 2a=1\\\\ a=\dfrac{1}{2}\qquad\quad\checkmark$


Substituindo este valor nas equações do sistema, obtemos

$\left\{\! \begin{array}{rcrcrcr} 4\cdot\frac{1}{2}&\!\!\!-\!\!\!&2b&\!\!\!+\!\!\!&2c&\!\!\!=\!\!\!&0\\\\ 3\cdot\frac{1}{2}&\!\!\!+\!\!\!&b&\!\!\!+\!\!\!&c&\!\!\!=\!\!\!&0\\\\ \frac{1}{2}&\!\!\!+\!\!\!&b&\!\!\!+\!\!\!&c&\!\!\!=\!\!\!&-1\\ \end{array} \right.\\\\\\\\ \left\{\! \begin{array}{rcrcrcr} 2&\!\!\!-\!\!\!&2b&\!\!\!+\!\!\!&2c&\!\!\!=\!\!\!&0\\\\ \frac{3}{2}&\!\!\!+\!\!\!&b&\!\!\!+\!\!\!&c&\!\!\!=\!\!\!&0\\\\ \frac{1}{2}&\!\!\!+\!\!\!&b&\!\!\!+\!\!\!&c&\!\!\!=\!\!\!&-1 \end{array} \right.$


As duas últimas equações são equivalentes podem ser reduzidas à mesma expressão. Reorganizando o sistema, obtemos

$\left\{\! \begin{array}{rcrcr} -2b&\!\!\!+\!\!\!&2c&\!\!\!=\!\!\!&-2\\\\ b&\!\!\!+\!\!\!&c&\!\!\!=\!\!\!&-\frac{3}{2} \end{array} \right.\\\\\\\\ \left\{\! \begin{array}{rcrcr} -2b&\!\!\!+\!\!\!&2c&\!\!\!=\!\!\!&-2\\2b&\!\!\!+\!\!\!&2c&\!\!\!=\!\!\!&-3 \end{array} \right.$


Resolvendo o sistema acima pelo método da adição, finalmente obtemos

$-2b+2c+2b+2c=-2-3\\\\ 4c=-5\\\\ c=-\,\dfrac{5}{4}\qquad\quad\checkmark$


e o valor de $b$ é encontrado substituindo o valor acima em uma das equações:

$2\cdot \left(\!-\,\dfrac{5}{4}\right)+2c=-3\\\\\\ -\,\frac{10}{4}+2c=-3\\\\\\ -10+8c=-12\\\\ 8c=-12+10\\\\ 8c=-2\\\\ c=-\,\dfrac{2}{8}\\\\\\ c=-\,\dfrac{1}{4}\qquad\quad\checkmark$


Logo, o vetor procurado é

$\boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{w}=\left(\dfrac{1}{2},\,-\,\dfrac{1}{4},\,-\,\dfrac{5}{4}\right) \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)