Question

Seja B = {(1, 1, 0). (1, 3, 2),(4, 9, 5)}. Mostre que B ́e uma base de R
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Answer 1

Considerando o enunciado e os conhecimentos referentes a álgebra linear, é possível afirmar que B é uma não é uma base $\mathbb{R}^3$ porque seus vetores são linearmente dependentes.

Sobre álgebra linear:

Para que a B seja uma base de $\mathbb{R}^3$, ela deve conter 3 vetores linearmente independentes, isso é, nenhum dos vetores pode ser a combinação lienar do outro.

Dessa forma:

$s(1,1,0)+t(1,3,2) = (4,9,5)\\\\s+t = 4\\s+3t=9\\2t = 5$

Portanto, para determinar que se o vetor (4,9,5) pode ser escrito como combinação linear dos outros dois, deve existir s e t que satisfaça o sistema de equações encontrado, veja:

$t = 5/2\\\\s+t = 4\\\\s+\dfrac{5}{2} = 4\\\\s = \dfrac{3}{2}$

Agora, caso esses valores verifiquem a terceira equação, então os vetores serão linearmente dependentes:

$s+3t = 9\\\\\dfrac{3}{2}+3\cdot\dfrac{5}{2}=9\\\\\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{2}=9\\\\\dfrac{18}{2} = 9\\\\9=9$

Portanto, o vetor (4,9,5) pode ser escrito como combinação linear de (1,1,0) e (1,3,2), de forma que B não é uma base de $\mathbb{R}^3$.

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