Question

seja ABCD um retângulo com AB = raiz quadrada d 3 = 75°, calcule o comprimento de valor de cos 75°​

Answer 1

Temos então um triângulo retângulo com um ângulo de 75°, cateto oposto de √3, vamos descobrir a hipotenusa (AC)

sen (75°) = √3/AC

sen(45° + 30°) = √3/AC

Sabemos que

sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa

Então,

sen(45°).cos(30°) + sen(30°).cos(45°) = √3/AC

√2/2.√3/2 + 1/2.√2/2 = √3/AC

√6/4 + √2/4 = √3/AC

(√6 + √2)/4 = √3/AC

√6 + √2 = 4√3/AC

AC = 4√3/(√6 - √2)

Multiplicando pelo conjugado temos

AC = (4√3 .(√6 + √2))/((√6 - √2).(√6 + √2))

AC = (4√18 + 4√6)/(6 - 2)

AC = (12√2 + 4√6)/4

AC = 3√2 + √6

Agora vamos calcular cos 75°

cos 75° = cos (45° + 30°)

cos (a + b) = cosa . cosb - sena . senb

cos(45° + 30°) = cos(45°).cos(30°) - sen(45°).sen(30°)

√2/2 . √3/2 - √2/2 . 1/2

√6/4 - √2/4 = (√6 - √2)/4

cos 75° = (√6 - √2)/4