Question

Seja ABC um triângulo retângulo em A. Sabendo que o ângulo C mede 30º e que a bissetriz interna do ângulo B é igual a 6 cm, qual o perímetro do triângulo ABC, em cm?
A) 9√3 + 3 .
B) 9√3 + 6.
C) 9√3 + 9 .
D) 9√ 3 + 12 .
E) 9√ 3 + 15.

Answer 1

Em anexo, a figura para ficar mais fácil visualização e entendimento do exercício.

Como C equivale a 30, portanto B equivale a 60 e sua metade é igual a 30.
Chamaremos de B', a metade do ângulo B.

$cos B' = \dfrac{AB}{6} \\ \\ AB = 6.cosB' \\ \\ AB = \not6. \dfrac{ \sqrt{3}}{\not2} \\ \\ \boxed{AB = 3\sqrt{3}}$

$tangC= \dfrac{AB}{AC} \\ \\ tangC= \dfrac{3\sqrt{3}}{AC} \\ \\ AC= \dfrac{3\sqrt{3}}{tang30} \\ \\ AC= \dfrac{3\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}} \\ \\ AC = 3\sqrt{\not3}.\dfrac{3}{\sqrt\not3} \\ \\ AC=3.3\\ \\ \boxed{AC =9}$

$CB^2=AC^2+AB^2\\ \\ CB^2=9^2+(3\sqrt{3})^2\\ \\ CB = \sqrt{81+9.3}\\ \\ CB=\sqrt{81+27}\\ \\ CB=\sqrt{106}\\ \\ CB=\sqrt{36.3}\\ \\ \boxed{CB=6\sqrt{3}}$

Perímetro é a soma dos lados:

$AB+AC+CB= \\ \\ 3\sqrt3+9+6\sqrt3\\ \\ \boxed{9\sqrt3 + 9}$

Alternativa C

=)