Question

Seja a função F(x) = 2x³ + 3x² − x + 1. Se existe uma função f(x) tal que f ' (x) = F(x) e f(1) = 1, então calcule f(x).

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{f(x)=\dfrac{x^4}{2}+x^3-\dfrac{x^2}{2}+x-1}$

Explicação passo-a-passo:

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1. Queremos encontrar uma função f(x) tal que tenha a propriedade:

$\mathsf{f'(x)=F(x)}$

2. Integre os dois lados da equação:

$\mathsf{\displaystyle \int f'(x)\,dx=\int F(x) \,dx}\\\\\mathsf{\displaystyle f(x)=\int2x^3+3x^2-x+1\,dx}\\\\=\mathsf{2\dfrac{x^4}{4}+3\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x+C}\\\\\therefore \mathsf{f(x)=\dfrac{x^4}{2}+x^3-\dfrac{x^2}{2}+x+C}$

onde C é uma constante.

3. Vamos calcular o valor da constante C utilizando a informação f(1) = 1, temos:

$\mathsf{f(1)=1}\\\\\mathsf{\dfrac{1^4}{2}+1^3-\dfrac{1^2}{2}+1+C=1}\\\\\mathsf{ \diagup \!\!\!\!\dfrac{1}{2}+1-\diagup \!\!\!\!\dfrac{1}{2}+1+C=1}\\\\\mathsf{2+C=1}\\\\\therefore \mathsf{C=-1}$

4. A função procurada é portanto:

$\boxed{\mathsf{f(x)=\dfrac{x^4}{2}+x^3-\dfrac{x^2}{2}+x-1}}$

Bons estudos!

Equipe Brainly