Question

Seja a diferente de 0, indique a soma dos quadrados das raizes da equação
$( \sqrt{a+ \sqrt{a^2+1} })^x+ (\sqrt{-a+ \sqrt{a^2+1} })^x=2 \sqrt{a^2+1}$

Answer 1

Ao tentar resolver a questão, elevei os dois lados ao quadrado, e acabei notando que o termo '2pq' da expansão de (p + q)² (onde p e q são as parcelas da esquerda da equação) é igual a 2.

Ou seja:

$2pq=2~~~\therefore~~~pq=1$

De fato:

$(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}+1}})^{x}\cdot(\sqrt{-a+\sqrt{a^{2}+1}})^{x}\\\\(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}+1}}\cdot\sqrt{-a+\sqrt{a^{2}+1}})^{x}\\\\\left(\sqrt{(a+\sqrt{a^{2}+1})\cdot(-a+\sqrt{a^{2}+1})}\right)^{x}\\\\\\\left(\sqrt{-a^{2}+a\sqrt{a^{2}+1}-a\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}+1}^{2}}}\right)^{x}\\\\\\\left(\sqrt{-a^{2}+0+a^{2}+1}\right)^{x}\\\\(\sqrt{1})^{x}\\\\1^{x}\\\\1$

Então, um fator é o inverso do outro. Portanto, fazendo

$b=(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}+1}})^{x}$

temos que

$(\sqrt{-a+\sqrt{a^{2}+1}})^{x}=\dfrac{1}{b}$
___________________________________

Então:

$(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}+1}})^{x}+(\sqrt{-a+\sqrt{a^{2}+1}})^{x}=2\sqrt{a^{2}+1}\\\\\\b+\dfrac{1}{b}=2\sqrt{a^{2}+1}$

Multiplicando todos os membros por b:

$b^{2}+1=2b\sqrt{a^{2}+1}\\\\b^{2}-(2\sqrt{a^{2}+1})b+1=0$

Resolvendo a equação do segundo grau com variável b:

$\Delta=(2\sqrt{a^{2}+1})^{2}-4\cdot1\cdot1\\\Delta=4(a^{2}+1)-4\\\Delta=4a^{2}+4-4\\\Delta=4a^{2}\\\Delta=(2a)^{2}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{\sqrt{\Delta}=2a,~assumindo~'a'~positivo}}\\\\\\b=\dfrac{2\sqrt{a^{2}+1}\pm2a}{2\cdot1}=\sqrt{a^{2}+1}\pm a$

Raízes:

$b'=a+\sqrt{a^{2}+1}\\\\b''=-a+\sqrt{a^{2}+1}$
_______________________________

Se b = b':

$b=b'\\\\(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}+1}})^{x}=a+\sqrt{a^{2}+1}\\\\(a+\sqrt{a^{2}+1})^{x/2}=(a+\sqrt{a^{2}+1})^{1}$

Bases iguais, iguale os expoentes:

$\dfrac{x}{2}=1~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x=2}}$

Agora, se b = b'':

$b=b''\\\\(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}+1}})^{x}=-a+\sqrt{a^{2}+1}$

Como vimos, $-a+\sqrt{a^{2}+1}=(a+\sqrt{a^{2}+1})^{-1}$ (Um é o inverso multiplicativo do outro). Então:

$(a+\sqrt{a^{2}+1})^{x/2}=(a+\sqrt{a^{2}+1})^{-1}\\\\\\\dfrac{x}{2}=-1~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x=-2}}$

Finalmente, a soma dos quadrados das raízes da equação é:

$(x')^{2}+(x'')^{2}=(-2)^{2}+2^{2}=4+4~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{(x')^{2}+(x'')^{2}=8}}$

OBS: Se, na resolução da equação do segundo grau, tomasse a < 0, teríamos √Δ = - 2a, mas isso não mudaria nas raízes da equação, portanto, a pode ser positivo ou negativo