Question

Se x é um número natural, e os números x+10, 2x+4 e 20-2x são as medidas dos lados de um triângulo, quais são os possíveis valores de x?
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Answer 1

Um triângulo possui duas condições de existência:

1. A condição geral válida para qualquer figura geométrica de que os lados devem possuir medidas positivas;
2. Dado um lado qualquer, este lado tem que ser menor que a soma dos outros dois. Caso contrário o triângulo não "fecha" ou se torna duas retas paralelas.

Vamos pegar cada um dos lados como referência e aplicar as condições de existência do triângulo para descobrirmos as limitações de "x":

Primeiro lado como referência:

1ª condição:

$x+10>0\\x>-10$

2ª condição:

$x+10<2x+4+20-2x$

$x-2x+2x<4+20-10$

$x<14$

Intervalo permitido pelo lado:

$-10<x<14$

Segundo lado como referência:

1ª condição:

$2x+4>0\\2x>-4$

$x>-\frac{4}{2}$

$x>-2$

2ª condição:

$2x+4<x+10+20-2x\\2x-x+2x<10+20-4\\3x<26$

$x<\frac{26}{3}$

intervalo permitido pelo lado:

$-2<x<\frac{26}{3}$

Terceiro lado como referência:

1ª condição:

$20-2x>0$

$-2x>-20$

$2x<20$

$x<\frac{20}{2}$

$x<10$

2ª condição:

$20-2x<x+10+2x+4$

$-2x-x-2x<10+4-20$

$-5x<-6$

$5x>6$

$x>\frac{6}{5}$

intervalo permitido pelo lado:

$\frac{6}{5}<x<10$

Agora os valores possíveis de "x" serão os valores permitidos nos três intervalos ao mesmo tempo (intersecção entre os intervalos).

Para realizar a intersecção de intervalos, basta pegarmos o maior limite inferior e o menor limite superior:

$\frac{6}{5}<x<\frac{26}{3}$

Mas calma lá. Observe que no começo o exercício explicita que "x" é um número NATURAL.

O limite inferior da intersecção que achamos impõe que:

$x>\frac{6}{5}\\x>1,2$

O número natural mais próximo que podemos substituir este limite inferior sem sair do intervalo é o número 2. O "x" também poderá ser igual a 2 já que este não quebra a imposição.

Já o limite superior impõe que:

$x<\frac{26}{3}\\ x<8,6666...$

O número natural mais próximo que podemos substituir este limite superior sem sair do intervalo é o número 8. O "x" também poderá ser igual a 8 já que este não quebra a imposição.

E finalmente podemos descrever o conjunto solução (possíveis valores) de "x" de duas formas aceitáveis:

$S=\{x\in N\ |\ 2\leq x\leq 8\}$

ou

$S=\{2,3,4,5,6,7,8\}$