Question

Resolva a Integral:

$\sf \: \displaystyle\int \: ( {x}^{4} - 2x + \sin(x) + 4 \cos(x) + 10) \: dx$

Resposta:

$\sf \dfrac{ {x}^{5} }{5} - x² - cos(x) + 4sin(x) + 10x + C$

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Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \: \displaystyle\int \: ( {x}^{4} - 2x + \sin(x) + 4 \cos(x) + 10) \: dx$

Como sabemos, a integral da soma é igual a soma das integrais, isso pode ser visto na seguinte propriedade:

$\boxed{\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx}$

Aplicando essa propriedade, temos que:

$\int x {}^{4}dx - \int 2x + \int \sin(x) dx+ \int 4 \cos(x) dx+ \int10dx$

Agora vamos remover os termos que são constantes de dentro da integral, pois através de uma certa propriedade, sabemos que as constantes transitam livremente para dentro e fora dos limites, derivadas e integrais:

$\boxed{ \int k.f(x)dx = k. \int f(x)dx}$

Aplicando mais essa propriedade:

$\int x {}^{4} dx - 2 \int x + \int \sin(x) + 4. \int \cos(x)dx + 10. \int 1dx$

Por fim, é só aplicar a regra da potência:

$\boxed{\int x {}^{n} dx= \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + c}$

Aplicando outra regra:

$\frac{x {}^{4 + 1} }{4 + 1} - 2. \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + \int \sin(x) + 4. \int \cos(x) + 10. \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \\ \\ \frac{x {}^{5} }{5} - x {}^{2} + \int \sin(x) + 4. \int \cos(x) + 10x$

Aquelas integrais que contém funções trigonométricas são diferentes, pois a regra da potência não se aplica a elas. Para descobrir o resultado, basta lembrarmos que a integral é o inverso da derivada, então para saber o resultado basta lembrarmos o resultado da derivada da função, logo:

$\frac{x {}^{5} }{5} - x {}^{2} + \int \sin(x) + 4. \int \cos(x) + 10x \\ \\ \boxed{ \frac{x {}^{5} }{5} - x {}^{2} - \cos(x) + 4. \sin(x) + 10x + c,c \in \mathbb{R}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Olá,

$\int (x^4-2x+sin(x)+4cos(x)+10)\, dx$

Vamos usar uma conhecida propriedade das integrais que:

$\int(f(x) +... +g(x)) \, dx = \int f(x)\, dx+ ... + \int g(x) \, dx$

Ou seja, a integral  da soma é a soma das integrais. Assim:

$\int (x^4-2x+sin(x)+4cos(x)+10)\, dx = \int x^4\, dx - \int 2x \, dx + \int sin (x) \, dx + \int 4cos(x) \, dx + \int 10 \, dx$

Agora, temos que:

$\int kf(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$

Assim:

$\int (x^4-2x+sin(x)+4cos(x)+10)\, dx = \int x^4\, dx - 2\int x \, dx + \int sin (x) \, dx + 4\int cos(x) \, dx +10 \int \, dx$

Agora, precisamos lembra que:

$\int x^n \, dx = \frac{x^ {n+1}}{n+1}+C \ , para\ n\neq -1$

$\int sin (x) \, dx = - cos (x) + C \ , pois,\ \frac{d}{dx}(-cos(x))=sin(x)$

$\int cos (x) \, dx = sin(x) + C \ , pois,\ \frac{d}{dx}(sin(x))=cos(x)$

Com isso:

$\int (x^4-2x+sin(x)+4cos(x)+10)\, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1}-2\frac{x^{1+1}}{1+1}-cos(x)+4sin(x)+10\frac{x^{0+1}}{0+1} +C$

$\int (x^4-2x+sin(x)+4cos(x)+10)\, dx = \frac{x^{5}}{5}-2\frac{x^{2}}{2}-cos(x)+4sin(x)+10\frac{x^{1}}{1} +C$

$\int (x^4-2x+sin(x)+4cos(x)+10)\, dx = \frac{x^{5}}{5}-x^2-cos(x)+4sin(x)+10x +C$