Question

Se uma pesquisa foi realizada com 1000 indivíduos, 300 dos quais estão doentes, qual é a probabilidade de, ao sortearmos um lote amostral de 100 indivíduos, 30 estarão doentes?

Answer 1

Utilizando analise combinatória e probabilidade, temos que sta probabilidade é de 8,67%.

Explicação passo-a-passo:

Se 300 de 1000 pessoas estão doente, a probabilidade de selecionarmo uma pessoa doente é de:

$P_D=\frac{300}{1000}=\frac{3}{10}$

Assim a probabilidade de selecionarmos uma pessoa saudavel é o complementar:

$P_S=\frac{700}{1000}=\frac{7}{10}$

Se queremos exatamente 70 pessoas saudaveis e 30 doentes (100 pessoas do espaço amostral), então queremos a interseção de probabilidades de 70 saudaveis e 30 doentes:

$P=P_S.P_S.P_S....(70vezes)...P_D.P_D.P_D...(30vezes)$

$P=\frac{7}{10}.\frac{7}{10}.\frac{7}{10}....(70vezes)...\frac{3}{10}.\frac{3}{10}.\frac{3}{10}...(30vezes)$

$P=(\frac{7}{10})^{70}.(\frac{3}{10})^{30}$

$P=\frac{7^{70}.3^{30}}{10^{100}}$

Mas ainda falta multiplicarmos mais uma coisa para esta probabilidade ficar correta, precisamos multiplicar pelo embaralhamento desta ordem, pois não necessariamente vamos pegar 70 pessoas saudaveis e 30 doentes nessa ordem, temos que embaralhar multiplicando pela quantidade de forma que podemos embaralhar 70 pessoas saudaveis e 30 doentes, por meio de uma permutação:

$Per=\frac{100!}{30!70!}$

Agora basta multiplicarmos isto, e teremos nossa probabilidade:

$P=\frac{100!}{30!70!}.\frac{7^{70}.3^{30}}{10^{100}}$

Agora este calculo pode ser feito somente com calculadora e tem o resultado de :

$P=\frac{100!}{30!70!}.\frac{7^{70}.3^{30}}{10^{100}}$

$P=0,0867$

Assim temos que esta probabilidade é de 8,67%.