Question

Se p > 5 é um número primo, mostre que p² + 2 e composto.

Answer 1

Deseja-se demonstrar a seguinte proposição:

Proposição. Se $\tt p>5$ é um número primo, então $\tt p^2+2$ é composto.

Para tanto, vamos recordar algumas definições e resultados estudados em Teoria dos Números.

Definição (Congruência módulo n). Seja $\tt n$ um número inteiro positivo. Os números inteiros $\tt a$ e $\tt b$ são congruentes módulo $\tt n$ se, e somente se, eles possuem o mesmo resto quando divididos por $\tt n.$

Quando $\tt a$ é congruente a $\tt b$ módulo $\tt n,$ escreve-se $\tt a\equiv b\pmod n.$

Além disso, é válida a seguinte equivalência:

$\boxed{\tt a\equiv b\pmod n \iff n\mid a-b.}$

´Vamos usar também as seguintes propriedades das congruências módulo $\tt n,$ para quaisquer $\tt a,b,c$ e $\tt d$ inteiros.

(i) $\tt a\equiv a\pmod n;$

(ii) Se $\tt a\equiv c\pmod n$ e $\tt b\equiv d\pmod n,$ então $\tt a\pm b\equiv c\pm d\pmod n.$

O teorema a seguir também será útil.

Teorema (Pequeno Teorema de Fermat). Sejam $\tt p$ um número primo e $\tt a$ um número inteiro. Então,

$\Large\text{ \tt a^p\equiv a\pmod p .}$

Se $\tt p\nmid a,$ então

$\Large\tt a^{p-1}\equiv 1\pmod p.$

Agora vamos à demonstração pedida.

Demonstração. Como o primo $\tt p$ é maior do que $\tt 5,$ então $\tt 3\nmid p.$ Consequentemente, pelo Pequeno Teorema de Fermat, decorre que

$\Large\tt p^2\equiv 1\pmod 3.$

Além disso, pela propriedade (i) apresentada, temos

$\Large2\equiv 2\pmod 3.$

Usando a propriedade (ii), segue que

$\Large\tt p^2+2\equiv 1+2\pmod 3,$

ou seja,

$\Large\tt p^2+2\equiv 3\pmod 3.$

Como $\tt 0\equiv 3\pmod 3,$ usando a última relação obtida e a propriedade (ii), temos o seguinte resultado

$\Large\begin{aligned}&\tt p^2+2-0\equiv 3-3\pmod 3\\\\&\implies\tt p^2+2\equiv0\pmod 3.\end{aligned}$

Logo, $\tt 3\mid p^2+2$ e, consequentemente, o número $\tt p^2+2$ é divisível por outro número positivo além de si próprio e do 1.

Portanto, o número $\tt p^2+2$ é composto, como queríamos demonstrar.

Se houver dúvidas, comente.

Espero ter ajudado!

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