Question

Se duas das raízes da equação x4 - 2x3 + x2 -8x-12 = 0 são 2i e-2i, determine as demais raízes.

Answer 1

Resposta:

As outras raízes são  " - 1 " e  " 3 "

Explicação passo a passo:

Existem vários métodos para resolver.

Vou utilizar um que creio ter menos cálculos.

Observação 1 → Polinómio completo do 4º grau

$P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

com a ; b ; c ; d ; e   ∈ |R       e      a ≠ 0

Um polinómio, com "n" raízes  pode ser decomposto na seguinte

expressão:

a * ( x - R1 ) * ( x- R2 ) * ( x- R3 ) * ... * (x - Rn)

Este é um polinómio do 4º grau   e o coeficiente a = 1  

Sabendo que temos duas raízes " 2i " e  " - 2i " ficamos a saber parte da

organização do polinómio

P(x) = 1 * ( x - ( - 2i ) ) * ( x- 2i ) * ( x- R3 ) * (x - R4)

Fazendo os cálculos possíveis:

P(x) = ( x + 2i ) * ( x - 2i) * ( x- R3 ) * (x - R4)

Cálculos auxiliares

( x + 2i ) * ( x - 2i)

Trata-se de um Produto Notável " A diferença de dois quadrados "

Observação 2 → Diferença de dois quadrados

É do tipo : a² - b²

Tem o seguinte desenvolvimento:

a² - b² = ( a + b ) * ( a - b )

Mas reparem que se num exercício tiverem:

( a + b ) * ( a - b )

é necessário saber que é igual a a² - b²

Que é o que vai ser utilizado agora :

( x + 2i ) * ( x - 2i)

= x² - ( 2i )²

= x² - 2² * i²

= x² - 4 * ( - 1 )

= x² + 4

Fim de cálculos auxiliares

Observação 3 → Qual o valor da unidade imaginário " i " ?

$i = \sqrt{-1}$

Donde

$i^2=(\sqrt{-1} )^2=-1$

Observação 4 → O que é o Algoritmo da Divisão ?

O algoritmo utilizado no Brasil para realizar a divisão é conhecido como

“método da chave”.

Dividendo     | divisor

    Resto        Quociente

Observação 5 → Lei fundamental do divisão

Dividendo = divisor *  quociente + resto

Exemplo:

$x^4 - 2x^3 + x^2 -8x-12$ = (  x² + 4 ) * (  x² - 2x -3 ) + zero

Usando algoritmo da divisão vou dividir o polinómio inicial por ( x² + 4 )

 $x^4$       $-2x^3$      $+x^2$       $- 8x$    $-12$            | x² + 4

$-x^4$                   - 4x²                                  x² - 2x -3

  0        - 2x³    - 3 x²     - 8x     - 12

             2x³                  + 8x            

               0       - 3 x²        0      - 12  

                           3 x²                   12  

                             0                      0

O facto do resto dar zero, significa que que o polinómio dado é divisível

por ( x² + 4 ).

Confirma que a decomposição do polinómio está correta

Assim o polinómio decompõe-se em:  

P (x) = ( x² - 2x -3 ) * ( x² + 4 )

Falta encontrar as raízes de   x² - 2x -3  ( polinómio do 2º grau )

Usando a Fórmula de Bhaskara

x = ( - b ± √Δ ) / 2a            Δ = b² - 4 * a* c                a ≠ 0

x² - 2x -3 = 0

a =   1

b = - 2

c = - 3

Δ = ( - 2 )² - 4 * 1 * ( - 3 ) = 4 + 12 = 16

√Δ = √16 = 4

x1 = ( - ( - 2 ) + 4 ) / (2 * 1 )

x1 = ( 2 + 4 ) /2

x1 = 6/2

x1 = 3

x2 = ( - ( - 2 ) - 4 ) / (2 * 1 )

x2 = ( + 2 - 4 ) / 2

x2 = - 2/2

x2 = - 1

As outras raízes são  " - 1 " e  " 3 "

Observação 6 → Sinal "menos" antes de parêntesis

Quando assim acontece, os valores dentro do parêntesis, quando saem,

mudam seu sinal.

Exemplo:

- ( - 2 ) = + 2    

Observação 7 → Outro método de Resolução

Seria usar consecutivamente o dispositivo Briot / Ruffini , para cada uma

das raízes dadas.

A quantidade de cálculos aqui, onde haveria lugar a multiplicações em

que os fatores seriam números onde entraria o " i ", seria mais trabalhosa

e passível de erros mais facilmente.

Daí a opção pelo algoritmo da divisão.

Bons estudos

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( * ) multiplicação              ( / ) divisão              ( ∈ )  pertence a  

( ≠ ) diferente de

( R1 ; R2; R3 ; R4 ; ... Rn )  são nomes atribuídos a raízes de polinómios

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução,

para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em

casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino