Question

Determine o conjunto solução em C, da equação x4 – 3x3 + 4x2 - 2x = 0, sabendo que duas de suas raízes são 0 e 1.

Answer 1

Resposta:

( 1 + i  )  e  ( 1 - i )

Explicação passo a passo:

Existem vários métodos para resolver.

Vou decompor o polinómio o mais possível e depois efetuar um

algoritmo da divisão de polinómios

Observação 1 → Equação completa do 4º grau

$x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 2x = 0$

com a ; b ; c ; d ; e   ∈ |R       e      a ≠ 0

Um polinómio, com "n" raízes  pode ser decomposto na seguinte

expressão:

a * ( x - R1 ) * ( x- R2 ) * ( x- R3 ) * ... * (x - Rn)

Observação 2 → Raízes de equação do 4º grau com coeficientes reais

→ apenas raízes reais

ou

→ duas raízes complexas conjugadas e duas reais

ou

→ somente quatro raízes complexas conjugadas, duas a duas.

Este é um polinómio do 4º grau   e o coeficiente a = 1  

Sabendo que temos duas raízes " 0 " e  " 1 " ficamos a saber parte da

organização do polinómio

P(x) = 1 * ( x - ( - 2i ) ) * ( x- 2i ) * ( x- R3 ) * (x - R4)

Fazendo os cálculos possíveis:

P(x) = ( x + 0) * ( x - 1 ) * ( x- R3 ) * (x - R4)

P(x) = x  * ( x - 1 ) * ( x- R3 ) * (x - R4)

P(x) = (x² - x ) * ( x- R3 ) * (x - R4)

Como temos duas raízes reais será de esperar que apareçam duas

raízes complexas conjugadas

Fazer o algoritmo da divisão

 $x^4$       $- 3x^3$         $4x^2$      $- 2x$           |x²  - x

$- x^4$         x³                                        x² - 2x + 2

 0        - 2x³         4x²       -2x

           + 2x³       - 2x²            

               0           2x²      - 2x

                           - 2x²     + 2x

                               0          0

Observação 3 → O que é o Algoritmo da Divisão ?

O algoritmo utilizado no Brasil para realizar a divisão é conhecido como

“método da chave”.

Dividendo     | divisor

    Resto        Quociente

Observação 4 → Lei fundamental do divisão

Dividendo = divisor *  quociente + resto

Exemplo:

$x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 2x$  =  (x² - x ) *  ( x² - 2x + 2 ) + zero

Resolver a equação

x² - 2x + 2 = 0

Usando a Fórmula de Bhaskara

x = ( - b ± √Δ ) / 2a            Δ = b² - 4 * a* c                a ≠ 0

a = 1

b = - 2

c = 2

Δ = ( - 2 ) ² - 4 *1 *2 = 4 - 8 = - 4

√Δ = √(-4)

$\sqrt{-4} =\sqrt{4*(-1)} =\sqrt{4} *\sqrt{-1} =2i$

x1 = ( - ( -2 ) + 2i ) / (2 * 1 )

$x_{1} =\dfrac{2+2i}{2} =\dfrac{2*(1+i)}{2} =1+i$

$x_{2} =\dfrac{2-2i}{2} =\dfrac{2*(1-i)}{2} =1-i$

As outras duas raízes são raízes complexas conjugadas

( 1 + i  )  e  ( 1 - i )

Observação 2 → Qual o valor de $\sqrt{-1}$  ?

É o símbolo " i ".

Unidade imaginária nos números complexos.

Observação 3 → Raízes  conjugadas de números complexos

A primeira parte da raiz mantém-se e troca-se o sinal à 2ª parte

" 1 + i "  é conjugado de " 1 - i "

Bons estudos.

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( * ) multiplicação    ( / )  divisão     ( ∈ ) pertence a      ( ≠ )  diferente de

( |R ) conjunto dos números reais

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino