Question

Se (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) = 125 e (a³ - 3a²b + 3ab² - b³) = 1, calcule o valor de 2a – 3b.


qual o valor de a e qual o valor de b , e qual o valor de 2a - 3b?

Answer 1

Na expressão (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) = 125, o primeiro membro é um produto notável conhecido como cubo da soma de dois termos.

Essa expressão pode ser reduzida dessa forma,

(a³ + 3a²b + 3ab² + b³) = (a + b)³

Desse jeito, dá para resolver a primeira equação:

$\displaystyle (a+b)^3=125$

Se a gente aplicar uma raiz cúbica nos dois lados a expressão fica assim:

$\displaystyle \sqrt[3]{(a+b)^3}=\sqrt[3]{125}$

$\displaystyle a+b=5$

Agora, a primeira parte da segunda equação: (a³ - 3a²b + 3ab² - b³), também é resultado de um produto notável e pode ser reescrita assim:

(a³ - 3a²b + 3ab² - b³) = (a - b)³

Dessa forma, fica fácil resolver a segunda equação:

$\displaystyle (a-b)^3=1$

$\displaystyle \sqrt[3]{(a-b)^3} = \sqrt[3]{1}$

$\displaystyle a-b=1$

Veja, é possível formar um sistema com as equações anteriores:

a + b = 5
a - b = 1

Dá pra resolver com o método da adição,

a + b = 5
a - b = 1
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2a = 6
a = 3

Com o valor de a, dá pra achar b:

3 + b = 5
b = 5 - 3
b = 2

Com isso, podemos descobrir quanto vale 2a - 3b,

2a - 3b

2 · 3 - 3 · 2

6 - 6

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