Question

Se a média aritmética entre dois números é 15 e sua média geométrica é 12, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números é:

Answer 1

Resposta:

segue resposta e explicação:

Explicação passo a passo:

Montando e resolvendo o sistema de equações:

1ª               $\frac{x + y}{2} = 15$

2ª           $\sqrt{x.y} = 12$

Isolando "y" na 1ª equação temos:

3ª             $y = 30 - x$

Substituindo o valor de "y" na 2ª equação, temos:

4ª           $\sqrt{x.(30 - x)} = 12$

          $(\sqrt{x(30 - x)} )^{2} = 12^{2}$

                  $x(30 - x) = 144$

                   $30x - x^{2} = 144$

       $-x^{2} + 30x - 144 = 0$

Calculando o valor do delta temos:

Δ $= b^{2} - 4.a.c = 30^{2} - 4.(-1).(-144) = 900 - 576 = 324$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

$x = \frac{-b +- \sqrt{delta} }{2.a} = \frac{-30 +- \sqrt{324} }{2.(-1)} = \frac{-30 +- 18}{-2}$

$x' = \frac{-30 + 18}{-2} = \frac{-12}{-2} = 6$

$x'' = \frac{-30 - 18}{-2} = \frac{-48}{-2} = 24$

Chegamos aos valores:

          x' = 6    e   x'' = 24

Vamos verificar qual ou quais valores de "x" satisfazem a 4ª equação. Então:

Para x' = 6:

            $\sqrt{6(30 - 6)} = 12$

                    $\sqrt{6.24} = 12$

                     $\sqrt{144} = 12$

                          $12 = 12$

Para x'' = 24:

            $\sqrt{24(30 - 24)} = 12$

                        $\sqrt{24.6} = 12$

                          $\sqrt{144} = 12$

                               $12 = 12$

Portanto, a solução da equação irracional é:

                    S = {6, 24}

Agora podemos descobrir os possíveis valores para "y". Para isso basta substituir os valores de "x" na 3ª equação. Então:

$x' = 6 => y' = 30 - x' => y' = 30 - 6 = 24$

$x'' = 24 => y'' = 30 - x'' = 30 - 24 = 6$

Então:

             x' = 6 para y' = 24

                          ou

              x'' = 24 para y'' = 6

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