Question

Se a equação ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, admite as raízes reais não nulas x1 e x2, obter a equação das raízes:

a) (x1)² e (x2)²

Answer 1

Vamos manipular a expressão à fim de deixá-la de um modo que possamos trabalhar com as relações de Girard, mais especificamente as relações de soma e produto das raízes de uma equação quadrática.

$\mathsf{ax^2+bx+c=0~~(divida~ambos~os~membros~da~equa\c{c}\~ao~por~a)}\\\\\mathsf{x^2+\dfrac{bx}{a}+\dfrac{c}{a}=0}\\\\\mathsf{x^2-(\dfrac{-b}{~~a})x+\dfrac{c}{a}=0}$

Pelas relações de Girard

$\mathsf{\dfrac{-b}{~~a}=x_1+x_2~~(soma~das~ra\'izes)}}\\\\\\\mathsf{~~\dfrac{c}{a}=x_1\cdot x_2~~(produto~das~ra\'izes)}$

Através destas relações podemos descobrir a equação de raízes (x₁)² e (x₂)². 

Para isso vamos desenvolver as relações até encontrar (x₁)² e (x₂)², tanto para a soma, quanto para o produto, e então nós substituímos na equação original ok? 

Para a soma:

$\mathsf{\hspace{-2}\dfrac{-b}{~~a}=x_1+x_2}\\\\\\\mathsf{\hspace{-3}\begin{pmatrix}\mathsf{\dfrac{-b}{~~a}}\end{pmatrix}^2=(x_1+x_2)^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{b^2}{a^2}=x_1^2+2\cdot x_1\cdot x_2+x_2^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{b^2}{a^2}-2\cdot x_1\cdot x_2=x_1^2+x_2^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{b^2}{a^2}-2\cdot\dfrac{c}{a}=x_1^2+x_2^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}=x_1^2+x_2^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{b^2-2ac}{a^2}=x_1^2+x_2^2~~(soma~dos~quadrados~das~ra\'izes)}$

Para o produto:

$\mathsf{\dfrac{c}{a}=x_1\cdot x_2}\\\\\\\mathsf{\hspace{-3}\begin{pmatrix}\mathsf{\dfrac{c}{a}}\end{pmatrix}^2=(x_1\cdot x_2)^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{c^2}{a^2}=x_1^2\cdot x_2^2~~(produto~dos~quadrados~das~ra\'izes)}$

Substituindo esses valores na equação original temos:

$\mathsf{x^2-\dfrac{(b^2-2ac)x}{a^2}+\dfrac{c^2}{a^2}=0}\\\\\\\mathsf{a^2 x^2-(b^2-2ac)x+c^2=0~~(equa\c{c}\~ao~de~ra\'izes~x_1^2~e~x_2^2,~resposta)}$