Question

Se 3x^2-9x+7= (x-a)^3 - (x-b)^3 , para todo número real x, o valor de a + b é (A) 3. (B) 5. (C) 6. (D) 9. (E) 12.

#FUVEST

Answer 1

(A) 3.

Desenvolvendo-se a identidade, temos:

3x² – 9x + 7 =  x³ – 3x²a + 3xa² – a³ – (x³ – 3x²b + 3xb² – b³)

3x² – 9x + 7 = –3x²a + 3xa² – a³ + 3x²b –3xb² + b³

3x² – 9x + 7 = (–3a + 3b)x² + (3a² – 3b²)x –a³ + b³

Logo, temos:

–3a + 3b = 3 (eq. I)

3a² – 3b² = -9 (eq. II)

-a³ + b³  = 7 (eq. III)

Da equação I, simplificando por 3 e multiplicando por -1, temos que:

a – b = – 1

e da equação II, temos:

3a² – 3b² = – 9

3(a² – b²) = – 9

3(a + b)(a – b) = – 9

3(a + b) . (–1) = – 9

a + b = 3

Answer 2

O valor de a + b é a) 3.

Vamos desenvolver o lado direito da equação 3x² - 9x + 7 = (x - a)³ - (x - b)³. Para isso, é importante sabermos que:

• (x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³.

Dito isso, temos que:

(x - a)³ - (x - b)³ = x³ - 3x²a + 3xa² - a³ - (x³ - 3x²b + 3xb² - b³)

(x - a)³ - (x - b)³ = x³ - 3x²a + 3xa² - a³ - x³ + 3x²b - 3xb² + b³

(x - a)³ - (x - b)³ = -3x²a + 3xa² - a³ + 3x²b - 3xb² + b³.

Feito isso, a equação inicial dada é igual a:

3x² - 9x + 7 = -3x²a + 3xa² - a³ + 3x²b - 3xb² + b³

3x² - 9x + 7 = x²(-3a + 3b) + x(3a² - 3b²) + (b³ - a³).

Comparando os lados, obtemos as seguintes condições:

• 3 = -3a + 3b
• -9 = 3a² - 3b²
• 7 = b³ - a³.

Da primeira condição, é verdade que b - a = 1 ou a - b = -1.

Da segunda condição, temos que:

a² - b³ = -3

(a + b)(a - b) = -3

(a + b).(-1) = -3

a + b = 3.

Portanto, a alternativa correta é a letra a).

Para mais informações sobre equação do segundo grau, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/20718756