Se 3x^2-9x+7= (x-a)^3 - (x-b)^3 , para todo número real x, o valor de a + b é (A) 3. (B) 5. (C) 6. (D) 9. (E) 12.
#FUVEST
Soluções para a tarefa
(A) 3.
Desenvolvendo-se a identidade, temos:
3x² – 9x + 7 = x³ – 3x²a + 3xa² – a³ – (x³ – 3x²b + 3xb² – b³)
3x² – 9x + 7 = –3x²a + 3xa² – a³ + 3x²b –3xb² + b³
3x² – 9x + 7 = (–3a + 3b)x² + (3a² – 3b²)x –a³ + b³
Logo, temos:
–3a + 3b = 3 (eq. I)
3a² – 3b² = -9 (eq. II)
-a³ + b³ = 7 (eq. III)
Da equação I, simplificando por 3 e multiplicando por -1, temos que:
a – b = – 1
e da equação II, temos:
3a² – 3b² = – 9
3(a² – b²) = – 9
3(a + b)(a – b) = – 9
3(a + b) . (–1) = – 9
a + b = 3
O valor de a + b é a) 3.
Vamos desenvolver o lado direito da equação 3x² - 9x + 7 = (x - a)³ - (x - b)³. Para isso, é importante sabermos que:
- (x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³.
Dito isso, temos que:
(x - a)³ - (x - b)³ = x³ - 3x²a + 3xa² - a³ - (x³ - 3x²b + 3xb² - b³)
(x - a)³ - (x - b)³ = x³ - 3x²a + 3xa² - a³ - x³ + 3x²b - 3xb² + b³
(x - a)³ - (x - b)³ = -3x²a + 3xa² - a³ + 3x²b - 3xb² + b³.
Feito isso, a equação inicial dada é igual a:
3x² - 9x + 7 = -3x²a + 3xa² - a³ + 3x²b - 3xb² + b³
3x² - 9x + 7 = x²(-3a + 3b) + x(3a² - 3b²) + (b³ - a³).
Comparando os lados, obtemos as seguintes condições:
- 3 = -3a + 3b
- -9 = 3a² - 3b²
- 7 = b³ - a³.
Da primeira condição, é verdade que b - a = 1 ou a - b = -1.
Da segunda condição, temos que:
a² - b³ = -3
(a + b)(a - b) = -3
(a + b).(-1) = -3
a + b = 3.
Portanto, a alternativa correta é a letra a).
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