Question

Sabendo-se que o resultado de 12x11x10x...x3x2x1+14 é divisivel por 13, qual o resto da divisão do número 13x12x11x...x3x2x1 por 169

Answer 1

 MegaMente,

questão interessante!

 

 De acordo com o enunciado, o resto dessa divisão é zero: $\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1 + 14}{13}$

 

 Segue,

 

$\frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}{169} = \\\\ \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}{13}$

 

 Note que, se tivéssemos + 14 no numerador aquela divisão seria exata; portanto, para que o resto seja nulo falta 14.

 Devemos descobrir o menor número que somado aos 14 seja divísivel por 13.

 

 Algebricamente, temos:

 

$14 + x = 26 \\ x = 26 - 14 \\ \boxed{x = 12}$

 

 

 

 

 

Answer 2

Olá, Megamente.

 

Chamemos de  $x$   a expressão $<var>12 \times 11 \times 10 \times ... \times 3 \times 2 \times 1</var>$

 

Temos, portanto, que:

 

$\frac{<var>x+14}{13} = k, k \in \mathbb{N} \Rightarrow \\\\ x+14=13k \Rightarrow x=13k-14 \Rightarrow \\\\ x=13k-(26-12)=13k-26+12 \Rightarrow \\\\ x=13(k-2)+12</var>$

 

Multiplicando por 13 em ambos os lados da igualdade:

 

$<var> 13x=169(k-2)+13.12=169(k-2)+156</var>$

 

Como  $13x$  é a expressão  $<var>13 \times 12 \times 11 \times ... \times 3 \times 2 \times 1</var>$

e  $k>>2,$  temos que o resto é 156.