Question

Sabendo que P(x) = x^3 + (a - 2)x^2 + (b - 4)x - 3 admite as raízes 1 e 21, o valor de a - b é:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4​

Answer 1

Se são raízes, ao substituirmos "x" na função P(x) por 1 ou por 21 teremos como resultado 0 (zero), logo:

$P(1)~=~0:\\\\(1)^3+(a-2).(1^2)+(b-4).(1)-3~=~0\\\\1+a-2+b-4-3~=~0\\\\\boxed{a+b~=~8}\\\\\\P(21)~=~0\\\\(21)^3+(a-2).(21^2)+(b-4).(21)-3~=~0\\\\9261+441a-882+21b-84-3~=~0\\\\\boxed{441a+21b~=~-8292}$

Perceba que temos 2 equações e 2 incógnitas, ou seja, temos um sistema de equações. Podemos resolve-lo por qualquer método conhecido. Vou resolver pelo método da substituição.

Isolando "b" na 1ª equação:

$a+b=8\\\\\boxed{b=8-a}$

Substituindo na 2ª equação:

$441a+21b~=~-8292\\\\441a+21.(8-a)~=~-8292\\\\441a-21a+168~=~-8292\\\\420a~=~-8292-168\\\\a~=~-\frac{8460}{420}\\\\\boxed{a~=~-\frac{141}{7}}\\\\\\Substituindo~o~valor~de~a~encontrado~para~achar~b:\\\\a+b=8\\\\-\frac{141}{7}+b=8\\\\b=8+\frac{141}{7}\\\\\boxed{b=\frac{197}{7}}$

$a-b=-\frac{141}{7}-\frac{197}{7}~=~\boxed{-\frac{338}{7}}$