Question

Sabendo que os valores (x+1, 3x, 5x+2) são 3 termos consecutivo de uma PG crescente, o valor de x e?​

Answer 1

A razão (q) de uma PG, quociente entre um termo qualquer ($\sf a_n$) e seu antecessor ($\sf a_{n-1}$), deve se manter constante para todo par de termos consecutivos e, sendo assim, podemos afirmar que:

$\boxed{\sf\dfrac{a_2}{a_1}~=~\dfrac{a_3}{a_2}}$

Substituindo os termos na equação acima:

$\sf \dfrac{3x}{x+1}~=~\dfrac{5x+2}{3x}\\\\\\Multiplicando~cruzado\\\\\\3x\cdot 3x~=~(5x+2)\cdot (x+1)\\\\\\9x^2~=~5x\cdot x~+~5x\cdot 1~+~2\cdot x~+~2\cdot 1\\\\\\9x^2~=~5x^2~+~ 5x~+~2x~+~2\\\\\\9x^2-5x^2-7x-2~=~0\\\\\\\boxed{\sf 4x^2-7x-2~=~0}$

Aplicando Bhaskara na equação de 2° grau achada:

$\sf \Delta~=~(-7)^2-4\cdot 4\cdot (-2)\\\\\Delta~=~49~+~32\\\\\boxed{\sf \Delta~=~81}\\\\\\x~=~\dfrac{7\pm\sqrt{81}}{2\cdot 4}~=~\dfrac{7\pm9}{8}~~\Rightarrow~\left\{\begin{array}{l}x'~=~\dfrac{16}{8}~=~2\\x''\,=~\dfrac{-2}{8}~=\,-\dfrac{1}{4}\end{array}\right.$

Note que chegamos a duas possibilidades de resultado para "x": 2 e -1/4

Vamos atentar, portanto, a outra informação dada no texto, o enunciado nos diz que a PG é crescente. Se é crescente, a progressão terá, necessariamente, uma razão positiva e maior que 1 (r>1), vamos então calcular a razão para x=x' e para x=x'':

$\sf Para~x=x'=2:\\\\r~=~\dfrac{3x'}{x'+1}~=~\dfrac{3\cdot 2}{2~+~1}~=~\dfrac{6}{3}~~\Rightarrow~\boxed{\sf r~=~2}~\checkmark\\\\\\\sf Para~x=x''=-\dfrac{1}{4}:\\\\r~=~\dfrac{3x''}{x''+1}~=~\dfrac{3\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}{\left(-\frac{1}{4}\right)~+~1}~=~\dfrac{-\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}~~\Rightarrow~\boxed{\sf r~=\,-1}~\times$

Como pudemos ver pelos cálculos, apenas x=x'=2 atende ao requisito imposto no exercício para que a PG seja crescente e, com isso, temos como resposta x=2.

PG: {3 , 6 , 12}

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$