Question

Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa ordem,estão simultaneamente em PA e em PG, calcule X e Y.

Answer 1

Vamos considerar a PA.

Dados da PA:
a1 = 2
a2 = log x
a3 = log y

Vamos determinar a razão da PA:
r = a2 - a1 = log x - 2
r = a3 - a2 = log y - log x

Vamos igualar as razões obtidas acima:

log x - 2 = log y - log x
log x + log x - log y = 2
log (x * x / y) = 2
log (x² / y) = 2
x² / y = 10²
x² = 10²
x²/10² = y
y = (x/10)²             para y ≠ 0

Agora, vamos considerar a PG

Dados da PG:
a1 = 2
a2 = log x
a3 = log y

Vamos determinar a razão da PG:
q = a2 / a1 = log x / 2
q = a3 / a2 = log y / log x

Vamos igualar as duas razões obtidas acima.

log x / 2 = log y / log x
log x * log x = 2 * log y
(log x)² = 2 * log y

Portanto, da PA temos que "y = (x/10)² " e da PG temos que "(log x)² = 2 * log y "
Vamos substituir o valor de "y = (x/10)² " na expressão "(log x)² = 2 * log y ".

(log x)² = 2 * log y
(log x)² = 2 * log (x/10)²
(log x)² = 4 * (log x - log 10)
(log x)² = 4 * (log x - 1)
(log x)² = 4 * log x - 4
(log x)² - 4 * log x + 4 = 0

Vamos chamar, o "log x = z", assim temos que:

(log x)² - 4 * log x + 4 = 0
z² - 4z + 4 = 0

a = 1
b = -4
c = 4

Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4 * 1 * 4
Δ = 16 - 16
Δ = 0

z' = (-b + √Δ) / 2a
z' = (-(-4) + √0) / (2 * 1)
z' = (4 + 0) / 2
z' = 4 / 2
z' = 2

z'' = (-b - √Δ) / 2a
z'' = (-(-4) - √0) / (2 * 1)
z'' = (4 - 0) / 2
z'' = 4 / 2
z'' = 2

Portanto, "z = 2", vamos substituir esse valor na igualdade "log x = z"

log x = z
log x = 2
x = 10²
x = 100

Vamos substituir o valor "x = 100" na igualdade "y = (x/10)²" para determinar o valor de y.

y = (x/10)²
y = (100 / 10)²
y = 10²
y = 100

Portanto, para "x = 100" e "y = 100", os valores de 2, log x e log y formam uma PA e uma PG.