Question

Sabendo que o gráfico da função f(x) = x ^ 2 e o gráfico de g(x) = x+b se encontram em apenas um ponto, encontre o valor de b.

Answer 1

Resposta:

Devemos igualar as funções f(x) e g(x) para encontrar o ponto em que elas se encontram:

$f(x) = g(x)\\\\x^{2} = x + b\\\\x^{2} - x - b = 0$

Esta é uma equação polinomial de segundo grau. Como as funções se tocam num único ponto, essa equação deve ter uma única solução real. Isto acontece quando o discriminante é nulo (Δ = 0):

$b^{2} - 4ac = 0\\\\(-1)^{2} -4(1)(-b) = 0\\\\1 + 4b = 0\\\\4b = -1\\\\b = -\frac{1}{4}$

Portanto, b = -1/4.

Calculemos o ponto onde as funções se encontram:

$x^{2} -x + \frac{1}{4} = 0\\\\x = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-1)}{2} = \frac{1}{2}$ ,

onde tanto f(x) quanto g(x) terão o valor de $\frac{1}{4}$.

Portanto, f(x) e g(x) se encontram no ponto ($\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$).