Question

Sabendo que o campo vetorial dado pela função F (x,y) = 2xy³ i→ + ( 1 +3x²y²) j→ é conservativo determine a função potencial:

A - f (x,y) = x² y³ + y + k

B - f (x,y) = 2xy³ + 1 + 3x²y² + k

C - f (x,y) = y-k

D - f (x,y) = 6xy² + 6xy +k

E - f (x,y) = x²y³ + k

Answer 1

Por meio de integrações indefinidas e definição de função potencial temos nossa função potencial, Letra A:

$U=x^2y^3+y+k$

Explicação passo-a-passo:

Se uma função F é conservativa, então existe uma função potencial U, tal que:

$F=\nabla U$

Onde U é uma função escalar.

Sendo assim, se F:

$F=2xy^3\vec{i}+(1+3x^2y^2)\vec{j}$

Então:

$\frac{dU}{dx}=2xy^3$

$\frac{dU}{dy}=1+3x^2y^2$

Integrando de volta a primeira equação em x:

$\frac{dU}{dx}=2xy^3$

$U=x^2y^3+C$

Note que C é uma constante d eintegração, mas como integramos somente em x, C pode depender de y também, sendo assim:

$U=x^2y^3+C(y)$

Agora vamos derivar esta função em y, e comparar com a derivada em y que já temos:

$U=x^2y^3+C(y)$

$\frac{dU}{dy}=3x^2y^2+C'(y)$

Comparando:

$\frac{dU}{dy}=3x^2y^2+C'(y)$

$\frac{dU}{dy}=1+3x^2y^2$

Note que para estas duas serem iguais C'(y), tem de ser igual a 1, então:

$C'(y)=1$

Integrando em y:

$C(y)=y+k$

Onde k é uma constante de integração. Agora voltando com este valor de C para a função que encontramos anteriormente:

$U=x^2y^3+C(y)$

$U=x^2y^3+y+k$

Assim temos nossa função potencial, Letra A:

$U=x^2y^3+y+k$