Question

Sabendo que M e N são os pontos medios dos lados BC e AC, respectivamente e que AC=12, BC=14,AM=6 e BN=9. Calcule o perimetro do quadrilatero GNCM
ALGUEM AJUDA PVFF

Answer 1

O perímetro do quadrilátero GNCM é 16 + √(14/3).

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A primeira coisa a observar é que G é o baricentro do triângulo. Isso se justifica, pois BN e AM são medianas do triângulo.

Dado que G é o baricentro do triângulo, tal ponto divide o segmento BN na razão 2 para 1, ou seja, BG = 2/3 de BN. Como BN = 9, BG = 6 e GN = 3.

Para descobrir GM, usarei duas vezes a lei dos cossenos aplicados aos triângulos BNC e BGM.

ΔBNC:

NC² = BN² + BC² - 2. BN . BC . cos (∠B)

6² = 9² + 14² - 2 . 9 . 14 . cos (∠B)

36 = 81 + 196 - 252 . cos(∠B)

-241 = - 252 . cos(∠B)

cos(∠B) = 241/252

ΔBGM:

GM² = BG² + BM² - 2. BG . BM . cos (∠B)

GM² = 6² + 7² - 2 . 6 . 7 . 241/252

GM² = 85 - 241/3

GM² = 14/3

GM = √(14/3)

Assim, o perímetro do quadrilátero GNCM é :

GN + NC + CM + GM = 3 + 6 + 7 + √(14/3) = 16 + √(14/3)

Que os deuses da Geometria plana te abençoe!!