Question

Sabendo que , log2= 0,301 e log3= 0,477, Calcule:

x=log32+log9na base2+log0,3

Answer 1

LOGARITMOS

Propriedades Operatórias e Mudança de Base


$x=Log32+Log9$ na base 2$+Log\left0,3$

Relembrando as propriedades dos Logaritmos:

$Log _{a}b*Log _{a}c=Log _{a}b+Log _{a}c$

$Log _{a} \frac{b}{c}=Log _{a}b-Log _{a} c$

$Logb ^{a}=a*Logb$

em cima destas propriedades, vamos simplificar a expressão acima e calcular o valor de x, veja:

$x=Log32+Log _{2}9+Log0,3$ sabemos que 0,3 é o mesmo que $\frac{3}{10}$

então a expressão ficará assim:

$x=Log32+Log _{2}9+Log \frac{3}{10}$

usando as propriedades p1, p2 e p3, a expressão ficará assim:

$x=5Log2+Log _{2}9+Log3-Log10$

Usando a definição de logaritmos, sabemos que $Log10=Log _{10}10$ que é igual a 1, então a expressão ficará assim:

$x=5Log2+Log _{2}9+Log3-(1)$

como todos os logaritmos encontra-se na base 10 e o $Log \left_{2}9$

encontra-se na base 2, passaremos ele para a base 10, para isto relembre a propriedade de mudança de base:

$Log _{b}X= \frac{LogX}{Logb}= \frac{X}{b}$

em cima disso, vamos mudar a base do Log $Log _{2}9$ que está na base 2

para a base 10, assim:

$Log _{2}9= \frac{Log9}{Log2}$ nestes logaritmos aplicaremos a p3, veja:

$\frac{Log3 ^{2} }{Log2}= \frac{2Log3}{Log2}$

juntando todas as expressões, na ordem em que estava, fica:

<===> $x=5Log2+ \frac{2Log3}{Log2}+Log3-(1)$

agora é só substituirmos os valores de Log dados acima:

<===> $x=5*0,301+ \frac{2*0,477}{0,301}+0,477-1$

<===> $x=1,505+3,169+0,477-1$ ==> $x=4,151$



Resposta: x ~ 4,151