Question

Sabendo , da PA que 1+2+3+...+n(n+1)/2. Prove este resulatdo por indução.

Answer 1

Olá, Cleo.

Provar por indução significa que devemos provar que a proposição:
(i) é valida para n = 1;
(ii) se é válida para n, implica que também é válida para n + 1.

(i) para n = 1, temos: $\frac{n\cdot (n+1)}2=\frac{1\cdot (1+1)}2=\frac{1\cdot2}{2}=1\text{ (verdadeiro)}$

(ii) $\underbrace{1+2+3+...+n}_{=\frac{n(n+1)}2\text{ (por hip\'otese)}}+(n+1)=\frac{n(n+1)}2+(n+1)=\\\\\\ =(n+1)(\frac n 2+1)=(n+1)(\frac{n+2}2)=\frac{(n+1)(n+2)}2$

Demonstrada, portanto, que a hipótese de que a proposição é válida para n implica que a proposição é válida, também, para (n+1).