Question

Sabemos que poliedros convexos satisfazem a equação de Euler V - A + F = 2.
Um poliedro convexo tem o número de vértices e o número de faces iguais a 9. Ele é composto apenas de faces triangulares e faces quadrangulares. Calcule o número de faces de cada tipo.

a. Não existe tal poliedro.

b. 5 faces triangulares e 4 faces quadrangulares.

c. 3 faces triangulares e 6 faces quadrangulares.

d. 6 faces triangulares e 3 faces quadrangulares.

e. 4 faces triangulares e 5 faces quadrangulares.

Answer 1

Como o poliedro possui 9 vértices e 9 faces, então:

V = 9 e F = 9.

Além disso, temos a informação de que o poliedro possui apenas faces triangulares e quadrangulares, ou seja,

F₃ + F₄ = 9.

A quantidade de arestas é igual a:

$A = \frac{3.F_3 + 4.F_4}{2}$.

Então, utilizando a equação de Euler, obtemos:

$9 + 9 = \frac{3F_3 + 4F_4}{2} + 2$

$16 = \frac{3F_3 + 4F_4}{2}$

3F₃ + 4F₄ = 32.

Da equação F₃ + F₄ = 9, podemos dizer que F₃ = 9 - F₄.

Então, substituindo o valor de F₃ em 3F₃ + 4F₄ = 32:

3(9 - F₄) + 4F₄ = 32

27 - 3F₄ + 4F₄ = 32

F₄ = 5 ∴ F₃ = 4.

Portanto, a alternativa correta é a letra e).