Question

sabe-se que três números inteiros estão em PA. Se esses números têm por soma 24 e por produto 120, calcule os três números.

Answer 1

Podemos representar o primeiro número da PA por x, e a razão da PA por r, de forma que a PA pode ser escrita assim:

x, x + r, x + 2r

Como a soma deles resulta em 24, temos:

x + x + r + x + 2r = 24

3x + 3r = 24

3(x + r) = 24

x + r = 8

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A outra informação é que o produto deles resulta em 120, ou seja:

x( x+r )( x + 2r ) = 120

Como sabemos que x + r = 8, podemos escrever:

x( 8 )( 8 + r ) = 120

x( 8 + r ) = 15

8x + xr = 15

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Por fim, basta resolver o sistema para encontrar o valor de x, e de quebra ainda achamos o valor da razão (não precisa, mas faz parte do processo):

x + r = 8 (i)

8x + xr = 15 (ii)

Isole x em (i) e substitua em (ii):

x = 8 - r

8( 8 - r ) + ( 8 - r )r = 15

64 - 8r + 8r - r² = 15

r² = 49

r = ± 7

Como há dois valores possíveis pra r, precisamos substituir os dois valores pra encontrar os possíveis valores de x.

Como x = 8 - r, vem:

x' = 8 - ( - 7)

x' = 15

_____

x" = 8 - 7

x" = 1

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Ou seja, para a razão = -7, temos x = 15, então a PA fica:

( 15, 15 -7, 15 - 7 - 7 )

( 15, 8, 1 )

Verificando as informações:

15 + 8 + 1 = 24 ✓

15 * 8 * 1 = 120 ✓

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Para r = +7, temos x = 1:

( 1, 1 + 7, 1 + 7 + 7 )

( 1, 8, 15 ) ✓

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Os dois valores são iguais, mudando apenas a ordem.

Os números que satisfazem as informações dadas são 1, 8 e 15.